1 . 【阅读材料】
【解答问题】请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由．

老师的问题： 如图，在中，点在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形．

小明的作法： （）连接，，相交于点； （）连接并延长，交于点； （）连接．四边形即为所求．

2 . 如图，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，连接，将绕它的中点P顺时针旋转得线段，点恰好落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点．若，点Q是x轴上一动点，则点的最小值为_______．

3 . 小明正在思考一道几何证明题：如图1，在正方形中，点E，F在对角线上，连接，且．求证：四边形是菱形．

小明是这样想的： 第一步：由，，，可证明，得； 第二步：连接（如图2），交于点O，可证得，，进而可得四边形是平行四边形； 第三步：由，四边形是平行四边形，可得四边形是菱形．

请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明．

4 . 如图，在平面直角坐标系第二象限中作等腰直角三角形， 使得，，恰好经过双曲线上的A和B，求B点横坐标与纵坐标的比值为________

   

5 . 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：

【实践探究】
（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则_________；
【解决问题】
（2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，，．
①如图2，当时，求证：平分；
②如图3，当点F落在上时，连接交于点，则_________；
【迁移应用】
（3）如图4，正方形的边长为5，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，则_________；
（4）如图5，在菱形中，，是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．若，则_________．

6 . 问题背景：苏科版八年级下册数学教材第95页“探索研究”

（1）如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形的顶点与点O重合．将正方形绕点旋转，在这个过程中，这两个正方形重合部分的面积是正方形面积的__________．
问题迁移：
（2）等边三角形的中线相交于点O，先将绕点O逆时针旋转，再沿线段方向平移，得到，点O、A、B的对应点分别为、、，且，在这个过程中，的边，所在射线分别交AB，BC于点M，N．
①如图2，当与重合时，求证：；
②如图3，当时，判断和之间的数量关系，并说明理由；
问题拓展：
③如图4，连接MN，记周长为，在a、k的变化过程中，存在a、k的值，使得MN平分的周长，此时，的结果是否会发生变化？如不变，请求出其值；如变化，求出的最小值．

7 . 已知，如图，点C在上，，，，若，则______．

8 . 已知四边形是正方形，点E是射线上一点，连接，点D关于直线的对称点为M，射线与直线相交于点G．

(1)若点M在对角线上，则　　　度；
(2)如图，若E是的中点，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
(3)若点E在边的延长线上，，求的长．

9 . 如图1，平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，两点，直线与交于点，与轴交于点．

(1)求点D的坐标；
(2)如图2，是线段上的一个动点（不与点重合），过作的垂线交于点．
①若，求的长；
②若的平分线与射线交于点，，，求关于的函数解析式．

10 . 如图，矩形纸片中，，，点、点分别是边、上的一个动点，将沿折叠，使顶点落在点处，再将纸片沿折叠，使顶点落在射线上的点处，下列结论：①；②若，则；③当点与重合时，；④连接，若是以为腰的等腰三角形，则或．其中正确的结论有____．（填序号）