1 . 数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度．

   

2 . 如图，平面直角坐标系中，的顶点为，，，将绕点顺时针旋转得到，其中，点，的对应点分别为点，．

   

(1)若双曲线经过点，求双曲线的解析式；
(2)若点的运动轨迹为，求阴影部分的周长；
(3)求直线的解析式．

3 . 如图，已知点为正方形内一点，点，分别在，边上，且，，连接，，若，．

   

（1）的最小值为________；
（2）在（1）的条件下，四边形的面积为________．

4 . 如图，在矩形中，，点是的中点，连接，点是上的点，过点作交于点，点关于的对称点为点，连接、，分别交于点，若，则四边形的面积为____________．
   

5 . 如图，在中，，，将直角三角板的直角顶点放在线段的中点上，以点为旋转中心，转动三角板，交线段于点，交线段于点，连接.设线段的长为，的面积为，在转动过程中，与的函数图象是（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：

方案	方案①	方案②
测量示意图	图①	图②
测量说明	如图①，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出的长度	如图②，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D、E两点之间的距离
测量结果	，，	，，

请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度．

7 . 如图，、在上，且，，，求证：与互相平分，且．补全下面的解题过程：

证明：，
__________＝__________，即，
在和中，

（__________________），
．
（__________________）．
在和中，

（__________________），
，，即与互相平分．

8 . 如图，动点P在反比例函数的图象上，且点P的横坐标为，过点P分别作x轴和y轴的垂线，交函数的图象于点A、B，连接．

   

(1)当，时．
①直接写出点P、A、B的坐标（用m的代数式表示）；
②当时，求m的值．
(2)与x轴和y轴相交与点E、F，与有怎么样的数量关系，并说明理由．

9 . 如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小航设计的方案如下：

①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得∠___________=，标记此时梯子的底端点D；③此时___________的长度即为梯子顶部A距离地面的高度．
(1)补全设计方案，并说明小航设计方案的正确性；
(2)测得，，求梯子下滑的高度.

10 . （1）用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．（只保留作图痕迹）
（2）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点． 求证：．

证明：四边形是平行四边形，
，
          ①          ，
垂直平分，
         ②         ，
又        ③      ，
（          ④        ），
．