1 . 【阅读材料】
【解答问题】请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由．

老师的问题： 如图，在中，点在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形．

小明的作法： （）连接，，相交于点； （）连接并延长，交于点； （）连接．四边形即为所求．

2 . 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，正方形中，E在对角线上，连接，作 交于点 F，求证：．
①如图2，小明同学利用正方形的对称性，给出如下解题思路：连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
②如图3，小龙同学根据正方形的对角线有关性质，给出另一种解题思路：过E作 于G， 于H，构造全等三角形．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学或转化线段或构造全等三角形，都是利用正方形的相关性质，为了帮助同学们更好地掌握正方形的性质，李老师在图l 中添加条件，并提出下面的问题，请你解答．
如图4，（1）中的条件不变，作 交CD于P，连接，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在正方形中，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段连接，，，当 时，求证：．

3 . 已知平分，点、、分别是射线、、上的点（点、、都不与点重合），且，联结交射线于点．

(1)如图1，当时，试说明的理由：
(2)在（1）的条件下，作的平分线交射线于，交射线于点，试说明的理由；
(3)当且是等腰三角形时，请直接写出的度数．

4 . 如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，．

(1)求证：
(2)若，点是上一动点，以的速度从点运动到点，问：点运动多少秒四边形是菱形？请说明理由．

5 . 如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（       ）．

A．

B．

C．

D．

6 . 根据所给素材，完成相应任务．

玩转三角板
活动背景	在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中，为直角，，，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动．
素材1	小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上．
素材2	小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．
素材3	李老师提出问题，在上述操作过程中，与的面积比是否为定值？
解决问题
任务1	（1）根据图2，计算线段的长度．
任务2	（2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：___________． （3）计算的面积．
任务3	（4）请你解答李老师的问题，并说明理由．

7 . 如图，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，连接，将绕它的中点P顺时针旋转得线段，点恰好落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点．若，点Q是x轴上一动点，则点的最小值为_______．

8 . 阅读下面的内容：
求证：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半．
已知：中、分别是、的中点．
求证：，且．
证明：过点作的平行线交的延长线于点，如图所示：

，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且，
，且．
类似的，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．
如图，梯形中，、分别是腰、的中点，就是梯形中位线．
梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半．
请参考例题证明梯形的中位线性质．
已知：如图梯形中，、分别是腰、的中点．
求证：________________．
证明：_____________________．

9 . 如图1，已知正方形，点E是边上一点，连接，交于点K，且，连接交于点H．交的延长线于点G．

(1)求证：；
(2)如图2，当点E为的中点时，求的值；
(3)的值是否为定值？如是，请直接写出这个定值；如不是，也请说明理由．

10 . 在中，，，于点D，点E，F分别在上，且，交于点N．

(1)如图1，当点E与点A重合时，______；
(2)如图2，当点E在边上时，
①依题意补全图2；
②的值是否发生变化，请说明理由．