1 . 如图①，过山车是一种机动游乐设施，常见于游乐园中，深受年轻游客的喜爱．如图②，过山车的轨道近似看成，轨道的支撑架AB，CD均与地面BC垂直，且与相切，点E为CD上一点，连接AE交于点F，连接DF并延长BC交于点G．已知．
   
(1)求证：；
(2)若，的半径为3，求的长．

2 . 如图1，中，于点在边上，交于，过点作于点．

   

(1)求证：；
(2)如图2，当时，求的长；
(3)连接，若，求的值．

3 . 在中，，、相交于点F，，，，，若，则______．

   

4 . 已知直线交轴于点，轴于点，点在轴正半轴上，．

(1)求直线解析式；
(2)如图1，点是第一象限内直线上一动点，点的横坐标为，连接，的面积为，求与的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
(3)如图2，在（2）的条件下，延长交轴于点，点为线段上一个动点，连接，交于点，连接，并延长交轴于点，过点作于点，直线交直线于点，，当时，求的长．

5 . 如图，是圆内接三角形，点是圆上一点，连结，，与交于点，且满足，．若，，则__．

6 . 在中，，D为内一点，连接，CD．
   
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在（1）的条件下，延长交于点E，P为上一动点，连接，若，，求的最小值．

7 . 在学习矩形的过程中，小明发现将矩形折叠，使得点B与点D重合，所得折痕在的垂直平分线上，折痕平分矩形的面积．他想对此折痕平分矩形的面积进行证明．他的思路是首先作出线段的垂直平分线，通过三角形全等的证明，将折痕左侧的四边形的面积转化为三角形的面积，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：用直尺和圆规，作的垂直平分线，交于点M，交于点N，垂足为点O．
   
∵四边形是矩形，
∴①        ，
∴，，
∵②             ，
∴③        ，
∴，
，
，
，
又∵，
∴④                  ，
即平分矩形的面积．

8 . 如图，在中，，点E，F分别在边，上，，直线分别交，的延长线交于点H，G．
   
(1)求证：．
(2)作，交延长线于点M，交于点O．若，，，，求的长．

9 . 如图，某数学展厅的入口设计，，，，以的各边为边向外构造正方形，正方形，正方形，在点D，G处按竖直方向悬挂霓虹灯管，，且．
   
(1)求灯管，之间的距离．
(2)求点N，P离水平地面的高度差．

10 . 附加题：
【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为90°）中，E、F分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．
大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程．

   

（1）延长到点，使___________，连接；
（2）求证：．
【问题应用】在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于E、F两点且，则五边形的周长_____________．