1 . 综合与实践

【问题探究】（1）如图①，在正方形中，，点E为上的点，，连接，点O为上的点，过点O作交于点M，交于点N，求的长度．
【类比迁移】（2）如图②，在矩形中，，，连接，过的中点O作交于点M，交于点N，求的长度．
【拓展应用】（3）如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地，记作平行四边形．测得米，米，．为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这条小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计）．直接写出新开出的小路的长度．

2 . 如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形边长相等．与相交于点与相交于点．

课本再现（1）求证：；
知识初探（2）嘉琪说：当正方形绕点转动，且与垂直时，四边形的面积最小．你同意嘉琪的说法吗？请说明理由；
拓展探究（3）如图2，四边形中，，连接，若，请直接写出四边形的面积．

3 . 四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点．
【提出问题】
（1）如图1，当点在边上时，与有怎样的数量关系？
以下是乐乐的解题思路：
如图1，乐乐在上截取，连接．
通过证全等可得________（填“>”“<”或“=”）；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：；
【思维拓展】
（3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，直接写出线段的长．

4 . 探究与证明
已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．
【图形认知】
（1）如图1，若四边形是正方形，且于点，求证：；
【探究证明】
（2）如图2，若四边形是矩形，且，求证：；
【拓展运用】
（3）如图3，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，求三角形的面积．

5 . 点M在四边形内，点M和四边形的一组对边组成两个三角形，如果这两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么定义该四边形 为蝴蝶四边形．例如，如图1，在四边形中， ， ，，则四边形 为蝴蝶四边形．

【概念理解】如图2，正方形 中，对角线 ，相交于点 M．判断正方形 是否为蝴蝶四边形，说明理由．
【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形中，．求证：．
【拓展应用】在蝴蝶四边形中， °，，当 是等腰三角形时，求此时的值．

6 . 在正方形中，点P在对角线上，点E，F分别在边，上，且于点P．

(1)特例发现：如图1，当点P在对角线，的交点处时，求证：；
(2)探究证明：如图2，当点P不在对角线，的交点处时，判断与的数量关系，并说明理由；
(3)拓展运用：在（2）的条件下，若，，连接，请直接写出的长．

7 . 综合与实践

(1)观察理解：如图，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（       ）；（请填写全等判定的方法）
(2)理解应用：如图，且，且，利用（）中结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积　     　；
(3)类比探究：如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积；
(4)拓展提升：如图，点，在的边，上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角，已知，，求证：．

8 . 综合与实践：
在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D．

(1)问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________．
(2)探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系．

10 . 【建立模型】
（1）在数学课上，老师出示这样一个问题：如图，在中，，直线经过点，，，垂足分别为点和点，兴趣小组很快发现：（此处不需证明）．
【类比迁移】
（2）勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题，如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点，请直接写出反比例函数的解析式；

【拓展延伸】
（3）创新小组受到勤奋小组的启发，请你结合抛物线的图象继续深入探究下面的问题并给出解答：
综合与探究：如图，抛物线与x轴交于两点，，与轴交于点，其对称轴（直线）为交轴于点．

①求抛物线的函数表达式及两点的坐标；
②点是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，，设点的横坐标为，求的面积的最大值以及此时点的坐标；
③如图，在的条件下，连接，在抛物线是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．