1 . 如图,在中,是边上的中线,E是的中点,过点A作的平行线交的延长线于点F,连接.(1)求证:;
(2)若,试判断四边形的形状,并证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,若,,求四边形的面积.
(2)若,试判断四边形的形状,并证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,若,,求四边形的面积.
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名校
2 . 如图,四边形是正方形,点E是边的中点,,且交正方形外角的平分线于点F.求证:.小华所在数学兴趣小组完成上述题目的证明后又对题目进行了进一步发掘,得出以下结论:
①连接,则
②点E为线段上任意一点,其他条件不变,则结论仍成立.
请运用所学知识判断他们的结论正确吗?若正确,请加以证明;若不正确,请说明理由.
①连接,则
②点E为线段上任意一点,其他条件不变,则结论仍成立.
请运用所学知识判断他们的结论正确吗?若正确,请加以证明;若不正确,请说明理由.
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35次组卷
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2卷引用:河北省保定市顺平县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
名校
3 . 淇淇同学要证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的,她先作出了如图所示的四边形,并写出了如下不完整的已知和求证.已知:如图,在四边形中,,__________.
求证:四边形是__________四边形
(1)填空,补全已知和求证;
(2)按淇淇的想法写出证明;
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为______________________________.
求证:四边形是__________四边形
(1)填空,补全已知和求证;
(2)按淇淇的想法写出证明;
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为______________________________.
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13次组卷
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2卷引用:河北省保定市顺平县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
4 . 如图1,在正方形中,,点E,F分别在上,于点M,于点N,且.(1)求证:;
(2)求的长;
(3)在直线右侧以线段为边作等腰直角三角形,,连接,如图2,试判断与的有什么关系?并证明你的结论.
(2)求的长;
(3)在直线右侧以线段为边作等腰直角三角形,,连接,如图2,试判断与的有什么关系?并证明你的结论.
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5 . 小明在学习了平行四边形后,对其进行了进一步的研究,发现如果作平行四边形任意一条对角线的垂直平分线,那么这条垂直平分线一定平分这个平行四边形的面积.他的思路是通过全等和图形的拼接得到面积相等.请根据思路完成以下作图与填空:
如图,在平行四边形中,.(1)尺规作图:作对角线的垂直平分线交于点E,交于点F,垂足为O(保留作图痕迹,不写作法,不写结论);
(2)在(1)所作图形中,求证:.
证明:四边形是平行四边形,
∴,,①__________.
垂直平分,②__________.
又③__________,..
又,
.
同理,,.
小明进一步研究发现,过平行四边形对角线中点的直线也有此特征.
请你依照题意完成下面命题:
过平行四边形对角线中点的直线④_____________________.
如图,在平行四边形中,.(1)尺规作图:作对角线的垂直平分线交于点E,交于点F,垂足为O(保留作图痕迹,不写作法,不写结论);
(2)在(1)所作图形中,求证:.
证明:四边形是平行四边形,
∴,,①__________.
垂直平分,②__________.
又③__________,..
又,
.
同理,,.
小明进一步研究发现,过平行四边形对角线中点的直线也有此特征.
请你依照题意完成下面命题:
过平行四边形对角线中点的直线④_____________________.
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6 . 如图,四边形是平行四边形,于E.(1)尺规作图:过点C作于点F,连接.(要求:保留作图痕迹,不写作法,不下结论)
(2)求证:.将下面的过程补充完整.
证明:∵,,
∴①____________,;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴②____________,,
∴③____________.
在和中,
,
∴,
∴④____________,
又∵,
∴四边形是⑤____________;(⑥____________)(填推理的依据)
∴.
(2)求证:.将下面的过程补充完整.
证明:∵,,
∴①____________,;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴②____________,,
∴③____________.
在和中,
,
∴,
∴④____________,
又∵,
∴四边形是⑤____________;(⑥____________)(填推理的依据)
∴.
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7 . 在①;②;③,这三个条件中任选一个补充在下面横线上,并完成证明过程.已知:如图,四边形是平行四边形,对角线相交于点O,点E,F在上,_______(填写序号),求证:.
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解题方法
8 . 下面是小明同学的作业及自主探究笔记,请认真阅读并补充完整.【作业】如图①,已知正方形中,分别是、边上的点,且.求证:.
证明:如图,将绕点逆时针旋转,得到,则.
四边形是正方形,,
.
.
又,点在一条直线上.
___,___.
【探究】(1)在图①中,若正方形的边长为,,其他条件不变,求的长.
解:正方形的边长为,.
设,则.
在中,由,解得___,即___.
(2)如图②,在四边形中,,是边上的点,且,则___.
(3)如图③,在中,,为边上的高.若,则的长为___.
证明:如图,将绕点逆时针旋转,得到,则.
四边形是正方形,,
.
.
又,点在一条直线上.
___,___.
【探究】(1)在图①中,若正方形的边长为,,其他条件不变,求的长.
解:正方形的边长为,.
设,则.
在中,由,解得___,即___.
(2)如图②,在四边形中,,是边上的点,且,则___.
(3)如图③,在中,,为边上的高.若,则的长为___.
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9 . 学习正方形时,王老师带领同学们探索了课本上的一道几何题.
【课本原型】(1)人教版八年级下册数学课本拓广探索》第15题.请你写出证明过程.
【问题解决】(2)如图(1),正方形中,点G为延长线上的任意一点,交延长线于点E,交于点F.试探索、、之间的数量关系,并给出证明
【问题研究】(3)如图(2),四边形是正方形,点G为上的一点,于点E,连接,若,请直接写出的面积.
【课本原型】(1)人教版八年级下册数学课本拓广探索》第15题.请你写出证明过程.
如图,四边形是正方形,点G为上的任意一点,于点E、,交于F.求证:. |
【问题研究】(3)如图(2),四边形是正方形,点G为上的一点,于点E,连接,若,请直接写出的面积.
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2024九年级下·全国·专题练习
10 . 如图,已知是的直径,,切于点B,过点C作交于点F,.(1)如图1,连接,求证:;
(2)如图2,N是上一点,在上取一点M,使,连接.请问:三条线段,,有怎样的数量关系?并证明你的结论.
(2)如图2,N是上一点,在上取一点M,使,连接.请问:三条线段,,有怎样的数量关系?并证明你的结论.
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