3 . （1）问题背景
如图1，中，，，的平分线交直线于，过点作，交直线于．请探究线段与的数量关系．（事实上，我们可以延长与直线相交，通过三角形的全等等知识解决问题．
结论：线段与的数量关系是         （请直接写出结论）；
（2）类比探索
在（1）中，如果把改为的外角的平分线，其他条件均不变（如图，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）中，如果，且，其他条件均不变（如图，请你直接写出与的数量关系．
结论：        （用含n的代数式表示）．

4 . 综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形全等“为主题开展数学活动：
   
【问题情景】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？
(1)【操作发现】如图，善思组通过作图发现，此时即“边边角”对应相等的两个三角形______ 全等填“一定”或“不一定”．
(2)【探究证明】钻研组受善思组的启发，提出并解决了图2中以下问题：
已知：如图2，在和中，，，．求证：．
请阅读并补全证明
证明：在上取一点，使．
，
　　．
又．
而．
　　．
，
　　．
又　　．
．
．
(3)【拓展应用】创新小组在此基础上进行了深入思考，把变为等腰三角形，且，点在射线上，点在的延长线上，，连接，与边所在的直线交于点请帮忙解决以下两个问题：
当点在线段上时，如图所示，求证：．
过点作交直线于点，若，，则______．

5 . 综合与实践
【实践探究】
数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转．

   

(1)【问题发现】
①线段之间的数量关系是______，线段之间的数量关系是_________﹔
②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是________
(2)【类比迁移】
如图2，是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，延长交于点P，连接，矩形可绕点O旋转．判断线段之间的数量关系并证明．
(3)【拓展应用】如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕点D旋转．当时，请直接写出线段的长．

6 . 已知：在正方形中，为对角线上一点，过点作，交于点，连接，为的中点，连接，．
   
【猜想论证】
(1)猜想线段与的数量关系，并加以证明．
【拓展探究】
(2)将图中绕点逆时针旋转得到图，取中点，连接，你在中得到的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．

7 . 如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，点为的中点，连接，．
   
(1)观察猜想：线段和的数量关系为；和的位置关系为_____．
(2)探究证明：把绕点逆时针旋转到如图所示位置，试判断（）中的关系是否仍然成立．如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．
(3)拓展应用；若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当D，E，B三点共线时CF的长度．

8 . 问题提出
在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边，交于点E，F（点E与点B，C不重合），将绕点O旋转．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？
爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．
浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了，则，．这样，就实现了四边形的面积向面积的转化．
小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．

（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到__________；__________．
类比探究
（2）①如图⒉，在矩形中，，，O是边的中点，，点E在上，点F在上，则__________．
②如图3，将问题中的正方形改为菱形，且，当时，其他条件不变，四边形的面积还是一个定值吗？若是，请求出四边形的面积；若不是，请说明理由．
拓展延伸
（3）如图4，在四边形中，，，，，是的平分线，求四边形的面积．