1 . 【问题情境】数学课上，王老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接．试判断线段与的位置关系．
   
(1)【探究展示】小明发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∴__________．（平行线分线段成比例）
∵，
∴．
∴．
即是的边上的中线，
又
∴__________．（等腰三角形的“三线合一”）
∴垂直平分．
请将上述证明过程补充完整；
(2)【反思交流】
小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图2，连接，以为一边在的左下方作正方表，发现点在线段的垂直平份线上，请你给出证明；
(3)【拓展应用】
如图3，连接，以为一边在的右上方作正方形，分别以点，圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接．若，请直接写出的值．

4 . 材料：如图所示，、、三点在同一条直线上，，，，则有.
   
(1)【小试牛刀】如图1，在平面直角坐标系中，且，，点、按顺时针顺序排列，则点坐标为______；
(2)【深入探究】如图2，点，分别在轴、轴上，，点在轴负半轴上，连，作且，连交轴于，请猜想线段与线段的数量关系并进行证明；
(3)【拓展提升】如图3，，轴，在直线上有一动点，连接并在轴下方作且，连接点与点的线段交轴于点，当时，求点的坐标.

5 . 综合与实践．
积累经验
（1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，，，且于点D，于点E．求证：，只要证明，即可得到解决；
   
类比应用
（2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，点A的坐标为点C的坐标为，求点B的坐标．
拓展提升
（3）如图3，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B坐标为________．

7 . 【试题再现】如图 1，中， ， 直线l过点C， 过点A、B分别作于点D，于点E， 则（不用证明）．
   
(1)【类比探究】如图2， 在中，， 且，上述结论是否成立？若成立， 请说明理由：若不成立， 请写出一个你认为正确的结论．
(2)【拓展延伸】如图3， 在中，， 且， 猜想线段之间有什么数量关系？并证明你的猜想．

8 . 问题情境：如图1，在直角三角形中，，于点，可知：（不需要证明）；

(1)特例探究：如图2，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：；
(2)归纳证明：如图3，点、在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：；
(3)拓展应用：如图4，在中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为3，则与的面积之和为__________．

9 . 阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．

(1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长；
(3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，为等腰直角三角形；
①如图3，当时，求点C的坐标；
②直接写出其他符合条件的C点的坐标．

10 . 模型探究：（1）如图1，在四边形中，，，于点E，若，求四边形的面积．
拓展应用：（2）如图2，在四边形ABCD中，，，于点E，若，，，求四边形的面积．