1 . （1）问题背景
如图1，中，，，的平分线交直线于，过点作，交直线于．请探究线段与的数量关系．（事实上，我们可以延长与直线相交，通过三角形的全等等知识解决问题．
结论：线段与的数量关系是         （请直接写出结论）；
（2）类比探索
在（1）中，如果把改为的外角的平分线，其他条件均不变（如图，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）中，如果，且，其他条件均不变（如图，请你直接写出与的数量关系．
结论：        （用含n的代数式表示）．

2 . 问题提出
在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边，交于点E，F（点E与点B，C不重合），将绕点O旋转．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？
爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．
浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了，则，．这样，就实现了四边形的面积向面积的转化．
小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．

（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到__________；__________．
类比探究
（2）①如图⒉，在矩形中，，，O是边的中点，，点E在上，点F在上，则__________．
②如图3，将问题中的正方形改为菱形，且，当时，其他条件不变，四边形的面积还是一个定值吗？若是，请求出四边形的面积；若不是，请说明理由．
拓展延伸
（3）如图4，在四边形中，，，，，是的平分线，求四边形的面积．

3 . 动手操作
利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法．
如图1，将等腰直角三角形的边绕点B顺时针旋转得到线段，，，连接，过点做交CB延长线于点H．
（1）在图1中：易知，则            ；

思考探索
如图2，若为任意直角三角形，、、、分别用a、b、c表示．边绕点B顺时针旋转，得到，过点作，交BC延长线于点．
（2）在图2中：的面积为            ；
拓展延伸
（3）如图3，在中，，，，，，连接．
①求的面积；
②在中，在BC边的高上找一点D，使的值最小，求AD的长和的最小值．

4 . 综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形全等“为主题开展数学活动：
   
【问题情景】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？
(1)【操作发现】如图，善思组通过作图发现，此时即“边边角”对应相等的两个三角形______ 全等填“一定”或“不一定”．
(2)【探究证明】钻研组受善思组的启发，提出并解决了图2中以下问题：
已知：如图2，在和中，，，．求证：．
请阅读并补全证明
证明：在上取一点，使．
，
　　．
又．
而．
　　．
，
　　．
又　　．
．
．
(3)【拓展应用】创新小组在此基础上进行了深入思考，把变为等腰三角形，且，点在射线上，点在的延长线上，，连接，与边所在的直线交于点请帮忙解决以下两个问题：
当点在线段上时，如图所示，求证：．
过点作交直线于点，若，，则______．

5 . 【实践操作】
在矩形中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原，若点P落在矩形的边上（如图①所示），当点P与点A重合时，；当E与点A重合时，；
​【初步思考】
当点E在上，点F在上时（如图②所示），求证：四边形为菱形；
【深入探究】
当点P落在矩形的内部（如图③所示），且点E、F分别在边上时，则的最小值为             ；
【拓展延伸】
若点F与点C重合（如图④所示），点E在上，线段与线段交于点M，，则线段的长为             ．

6 . （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E ，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， 点D的对称点为，若，，求的长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边 ，于点E ，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．

7 . 阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．

(1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，求的长；
(3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标．

10 . 在中，于点D，点P为射线上任一点（点B除外），连接，将线段绕点P顺时针方向旋转α，，得到，连接．

(1)【观察发现】如图1，当，且时，与的数量关系是        ，与的位置关系是        ．
(2)【猜想证明】如图2，当，且时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
(3)【拓展探究】在（2）的条件下，若，，请直接写出的长．