1 . 如图1，两个全等的直角三角形
和
的斜边
和
在同一直线上，
，将
沿直线平移，并连接
，
．
【基础巩固】
（1）求证：在沿直线平移过程中，四边形
是平行四边形；
【操作思考】
（2）如图2，已知
，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时
的长；
【拓展探究】
（3）如图3，连接
，若四边形为菱形，且
，求
的度数．
和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连接，．【基础巩固】
（1）求证：在
沿直线平移过程中，四边形是平行四边形；【操作思考】
（2）如图2，已知
，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长；【拓展探究】
（3）如图3，连接
，若四边形为菱形，且，求的度数．
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2 . 在
中，点D在直线
上，点E在平面内，点F在
的延长线上，
，
，
．
【问题解决】
（1）如图1，若点D在边
的延长线上，求证：
；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在线段上，请探究线段
、与之间存在怎样的数量关系，并证明；
【拓展延伸】
（3）如图3若点D在线段的延长线上，请探究线段、与之间的数量关系，并证明．
中，点D在直线上，点E在平面内，点F在的延长线上，，，． 【问题解决】
（1）如图1，若点D在边
的延长线上，求证：；【类比探究】
（2）如图2，若点D在线段
上，请探究线段、与之间存在怎样的数量关系，并证明；【拓展延伸】
（3）如图3若点D在线段
的延长线上，请探究线段、与之间的数量关系，并证明．
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2023-09-26更新
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69次组卷
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2卷引用：浙江省杭州市滨江区杭州二中白马湖学校2023-2024学年八年级上学期开学考试试题
3 . 问题发现】
（1）若四边形
是菱形，
，点P是射线上一动点．
为边向右侧作等边
，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接
，则
与
有怎样的数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰
，其中
，
，如图2．当点P在对角线上：
①求证：点E在
边所在直线上；
②探究与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，
，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若
，求
的面积及的长．
（1）若四边形
是菱形，，点P是射线上一动点．为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由； 【类比探究】
（2）若四边形
是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，，如图2．当点P在对角线上： ①求证：点E在
边所在直线上；②探究
与之间的数量关系，并说明理由；【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形
中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积及的长．
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4 . 在中，
于点D，点P为射线上任一点（点B除外），连接，将线段
绕点P顺时针方向旋转α，
，得到
，连接．
，且时，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ．
(2)【猜想证明】如图2，当，且
时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
(3)【拓展探究】在（2）的条件下，若
，
，请直接写出的长．
中，于点D，点P为射线上任一点（点B除外），连接，将线段绕点P顺时针方向旋转α，，得到，连接．
，且时，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ．(2)【猜想证明】如图2，当
，且时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）(3)【拓展探究】在（2）的条件下，若
，，请直接写出的长．
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5 . 综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，
，
．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到
（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为
，设线段与相交于点M，线段
分别交，于点O，N．
时，判断
的形状并说明理由；
探究规律：（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段
始终等于线段
，请你证明这一结论；
拓展延伸：（3）①请求出当
是等腰三角形时旋转角
的度数；
②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当
时旋转角的度数．
中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为，设线段与相交于点M，线段分别交，于点O，N．
时，判断的形状并说明理由；探究规律：（2）如图3，在
绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论；拓展延伸：（3）①请求出当
是等腰三角形时旋转角的度数；②在图3中，作直线
，交于点P，直接写出当时旋转角的度数．
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6 . 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
如图1，正方形中，点
为边上一点，连接，过点作
交边于点
，将沿直线折叠后，点A落在点
处，当
时，
；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则
；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且
，其他条件不变，请写出与
之间的数量关系式（用含
的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且
，
，其他条件不变，当
时，请直接写出的长．
如图1，正方形
中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ；如图2，连接
，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ；(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形
改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形
改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
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7 . 【问题背景】中，，
，点D为直线上一点．
【初步探究】
(1)如图，当点D在线段上时，连接，过点A作
于点A，且
，过点E作
于H点，交于F点．
求证：
．
请将证明过程补充完整：
证明：
，
，即
．
，
，
（________________________），
______（________________________）．
为等腰直角三角形，，
，
在
中，
，
．
在
与
中，
，
（________________________）．
【推广探究】
(2)如图，若点D为边BC延长线上一点，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
(3)若
，
，其它条件不变时，
______．
中，，，点D为直线上一点．【初步探究】
(1)如图，当点D在线段
上时，连接，过点A作于点A，且，过点E作于H点，交于F点．求证：
．请将证明过程补充完整：
证明：
，，即．，，（________________________），______（________________________）．为等腰直角三角形，，，在
中，，．在
与中，，（________________________）．【推广探究】
(2)如图，若点D为边BC延长线上一点，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
(3)若
，，其它条件不变时，______．
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8 . 实践与探究：
【操作一】：如图①，已知矩形纸片
，点和点分别是和上的点，将矩形沿
折叠，使点
与点
重合，点
的对应点是点
．求证：
；
【操作二】：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点
的对应点是点
．我们发现，当矩形的邻边长度比值不同时，点的位置也不同．如图（2），当点恰好落在折痕上时，
；
【拓展】：如图（3），在【操作二】中点恰好落在折痕上时，点N为
上任意一点，连接
、
．若
，则
的最小值为 ．
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2024-04-10更新
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198次组卷
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6卷引用：2023年吉林省长春市二道区中考一模数学试题
2023年吉林省长春市二道区中考一模数学试题2023年吉林省长春市榆树市小区域联考中考三模数学试题（已下线）专题1.4 矩形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）（已下线）2023年吉林省一模（几何探究题）2023年吉林省白山市靖宇县部分学校中考数学一模模拟试题2023年吉林省白山市靖宇县三道湖镇兴平希望学校九年级第五次中考模拟数学模拟预测题
9 . 数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
(1)操作发现：如图甲，在
中，
，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证
，此时，线段
的数量关系为：______；
(2)拓展应用：
如图乙，
为等腰直角三角形，
，已知点C的坐标为
，点B的坐标为
．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：
(3)迁移探究：
如图丙，小华又作了一个等腰，，且
，她在直线l上取两点D、E，使得
，请你帮助小华判断（1）中线段的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；
(1)操作发现：如图甲，在
中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段的数量关系为：______；(2)拓展应用：
如图乙，
为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：(3)迁移探究：
如图丙，小华又作了一个等腰
，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；
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2024·浙江·一模
10 . 定义：在四边形内，如果有一点和一组对边组成的两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么这个四边形叫做蝴蝶四边形．例如图1，
，
，则四边形为蝴蝶四边形．中，对角线与相交于O．求证：正方形为蝴蝶四边形；
(2)【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形中，．求证：
；
(3)【拓展应用】如图3，在蝴蝶四边形中，， 
，
．当
是等腰三角形时，求此时以为边的正方形的面积．
，，则四边形为蝴蝶四边形． 
中，对角线与相交于O．求证：正方形为蝴蝶四边形；(2)【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形
中，．求证：；(3)【拓展应用】如图3，在蝴蝶四边形
中，， ，．当是等腰三角形时，求此时以为边的正方形的面积．
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