1 . 如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．

(1)求反比例函数的表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．

2 . 【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形；
【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）

3 . 我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为．想法是：以为边作矩形，点A在边上，再过点A作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点D．（只保留作图痕迹）

在和中，
∵，
∴．
∵，
∴______①____．
∵，
∴______②_____．
又∵____③______．
∴（）．
同理可得：_____④______．
．

4 . 如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；（2）作直线OM交AB于点N．若OB＝10，AB＝16，则tan∠B等于（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . （1）如图①，O为AB的中点，直线l₁、l₂分别经过点O、B，且l₁∥l₂，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l₂于点C，连接AC．求证：直线l₁垂直平分AC；
（2）如图②，平面内直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l₁、l₄上，连接PQ．用圆规和无刻度的直尺在直线l₄上求作一点D，使线段PD最短．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）

6 . 《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在中，______________，是的中点，
（______________）（填推理的依据）．
∵直线表示的方向为东西方向，
∴直线表示的方向为南北方向．

7 . 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接．
（2）直接写出引理的结论：线段的数量关系．