1 . 如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点．
   
(1)求证：四边形是菱形（请结合图①写出证明过程）．
(2)如图②，矩形纸片沿着折叠，使得点与点重合，若，试求的长．

3 . 如图，在长方形中，，，，，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．

(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，直接写出周长的最小值．

4 . 下面是某版本数学教材的部分内容．

例2   如图，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长至点，使，连接．

(1)请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程；
(2)如图②，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么________；
(3)如图③，在中，是边上的高线，是边上的中线，是的中点，．若，，则________．

6 . 如图，在中，点E是CD边的中点，将沿AE翻折，点D落在点F处，连结AF并延长交BC于点M．
求证：．

小明在解答该题时，由中点联想到添加辅助线：延长AE，BC相交于点N．
（1）请按照小明的思路在图中画出辅助线，并证明．
（2）请完成小明编制的计算题：若，，，求AB的长．

7 . 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．
（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是　       　．线段AM、BN、MN之间的数量关系是                       　；
（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是　                       　．试证明你的猜想；
（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是　                        　．（不要求证明）

8 . 如图，将矩形纸片折叠，使点刚好落在线段上，且折痕分别与边、相交，设折叠后点、的对应点分别为点、，折痕分别与边、相交于点、．

   

(1)判断四边形的形状，并证明你的结论．
(2)若，，求的长．

9 . 数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．
   
问题解决：
（1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则：
①与的关系为      ，线段与线段的关系为      ，小强量得，则      ．
②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明．
拓展延伸：
（2）如图2，矩形纸片中，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长：      ．
综合探究：
（3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围      ．

10 . 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．

【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．
【猜想】．
【验证】（1）请将下列证明过程补充完整．
∵矩形纸片沿所在的直线折叠，
       ．
∵四边形是矩形，
，
       ．
              ，
．
【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．
①猜想与的数量关系，并说明理由．
②若，，求的长．