1 . 探究问题：

(1)方法感悟：
如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且满足，连接，求证： ．
感悟解题方法，并完成下列填空．
证明：延长到点G，使，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即______．
又∵，，
∴__________．
∴，
∵，
又，
∴．
变化：在图①中，过点A作于点M，请直接写出和的数量关系____________；
(2)方法迁移：
如图②，将沿斜边翻折得到，E，F分别是边上的点，，连接，过点A作于点M，试猜想之间有何数量关系，并证明你的猜想，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)问题拓展：
如图③，在四边形中，，E，F分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：与满足关系：                 ．

2 . 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系．

   

(1)思路梳理
把绕点A顺时针旋转至，可使与重合，由，得，即点F、B、G共线，易证         ，故之间的数量关系为         ．
(2)类比引申
如图②，在四边形中，．E、F分别是上的点．且．猜想图中线段之间的数量关系         ．并加以证明．
(3)拓展提高
如图③，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，探究上述结论是否仍然成立？说明理由．

3 . 探究问题：

(1)方法感悟：如图甲，在正方形中，点E，F分别为边上的点，且满足，连接，求证：．
感悟解题方法，并完成下列填空：
延长到点G，使，连接．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即______．
又∵，
∴______．
∴______．
∴．
(2)方法迁移：如图乙，将沿斜边翻折得到，点E，F分别为边上的点，且．试猜想之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
(3)问题拓展：如图丙，在四边形中，，E，F分别为上的点，且满足，请问：与满足什么关系，可使得？直接写出答案．

5 . 综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明；

(1)【思考尝试】同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题．
(2)【实践探究】数学第一小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出大小，请你思考并解答这个问题．
(3)【拓展迁移】数学第二小组深入研究第一小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，已知的最小值为，那么在点的移动过程中，请你求出周长的最小值为_______．

6 . 阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图①，和都是等边三角形，点D在上．
求证：以为边的三角形是钝角三角形．

【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，从而得出为钝角三角形，故以为边的三角形是钝角三角形，写出完整的证明过程．
【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点E在上．
①猜想：以为边的三角形的形状是          ；
②当时，直接写出正方形的面积．

7 . 问题情境：已知正方形是对角线上任意一点．

思考发现：（1）如图1，若连接，则线段与的数量关系为___________．
探究应用：（2）如图2，经过点B作与的延长线交于点与交于点G．
①判断的形状并说明理由；
②连接，若G是的中点，且，求线段的长．
拓展迁移：（3）如图3，在（2）的条件下，若，请直接给出线段的长．

8 . 初识图形

（1）如图1，、分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则　 　．
类比探究
（2）如图2，矩形中，点、分别在边、上，连接、，且，，，则　                　．
拓展应用
（3）如图3，中，、分别为、边上的点，，，，连接，交于点．求长．请说明理由．

9 . （1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：．

（2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值．
（3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长．

10 . 平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略．
如图①，在正方形中，E、F、G分别是、、上的点，于点Q．求证：．
小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法：
方法一：平移线段使点F与点B重合，构造全等三角形；
方法二：平移线段使点B与F重合，构造全等三角形；

   

【尝试应用】
(1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明；
(2)如图②，点E、F、G、H分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值；
【拓展探究】
(3)如图③，点E、F分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G，若，求证：．