1 . 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其它数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：已知，正方形和正方形，连接，．当正方形绕点A旋转，如图1，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由；
(2)类比探究：如图2，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)实践应用：在（2）的条件下，连接（点E在上方），若，且，，求线段的长．

2 . 问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点A逆时针旋转．
   
【特例感知】
（1）当在边上时，连接，相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明．
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②．
（i）请说明理由．
（ii）根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由．
【规律探究】
（3）如图③，将正方形绕点A逆时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．

3 . 在学习正方形的过程中，小军发现一个规律：在正方形ABCD中，E为AD边上任意一点，连接BE，若过点A的直线，交CD于点G，则必有．为了验证此规律的正确性，小军的思路是：先利用下图，过点A作出BE的垂线，再通过证全等得出结论．请根据小军的思路完成以下作图与填空：

(1)用直尺和圆规在下图的基础上过点A作BE的垂线AG，交BE于点F，交CD于点G．（只保留作图痕迹）
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ① ，，
∴．
∵ ②
∴，
∴，
∴ ③ ，
在和中

∴．
∴．

7 . 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2)．延长CB交x轴于点A₁，作第1个正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作第2个正方形A₂B₂C₂C₁，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是______．