1 . 已知：如图1，线段a．求作：正方形形，使得．
          
作法：如图2．
1．在直线上截取．
2．过点B作直线，在直线m上截取线段．
3．分别以点A和点C为圆心，a的长为半径画弧，两弧的交点为D．（点D与点C在直线的同侧）
4．连接．则四边形为所求的正方形．
根据上面设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，在图2中补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：∵，
∴四边形是菱形；（_______________________________），（填推理的依据）
∵直线，
∴___________，
∴四边形ABCD是正方形（____________________）．（填推理的依据）

2 . 下面是小明设计的作正方形ABCD的尺规作图过程．
已知：中，．．
求作：正方形．
作法：如图，

1、以点A为图心．长为半径作弧；
2、以点C为圆心，长为半径作弧；
3、两弧交于点D，点B和点D在异侧；
4、连接，，所以四边形是正方形．
(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵______________，______________，
∴四边形是平行四边形．（______________）（填推理的依据）
∵，
∴四边形是矩形．（______________）（填推理的依据）
又∵，
∴四边形是正方形．（______________）（填推理的依据）

3 . 下面是小明设计的作正方形ABCD的尺规作图过程．

已知：RtABC中，∠ABC＝90°，AB=CB
求作：正方形ABCD．
作法：如图，
1．以点A为圆心，BC长为半径作弧；
2．以点C为圆心，AB长为半径作弧；
3．两弧交于点D．点B和点D在AC异侧；
4．连接AD，CD．
所以四边形ABCD是正方形．
(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：
∵AB＝        ，BC＝        ，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形(        )(填推理的依据)，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形(        )(填推理的依据)．

4 . 下面是小明设计的“在一个矩形内作正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求作：正方形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
四边形ABEF就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB
∴　 　＝　 　．
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（       ）（填推理的依据）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∴四边形ABEF为矩形．（       ）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为正方形．（       ）（填推理的依据）

5 . 下面是小明设计的“作一个以已知线段为对角线正方形”的尺规作图过程．
已知：线段AC
求证：四边形ABCD为正方形
作法：如图，   
①作线段AC的垂直平分线MN 交AC于点O；
②以点O为圆心CO长为半径画圆，交直线MN于点B，D；
③顺次连接AB，BC，CD，DA；
所以四边形ABCD为所作正方形．

根据小明设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA=OB，OC=OD，
∴四边形 ABCD为平行四边形．（__________________）（填写推理依据）
∵OA=OB=OC=OD即AC=BD．
∴ABCD为          （__________________）（填写推理依据）．
∵ AC⊥BD，
∴四边形 ABCD为正方形（__________________________）．（填写推理依据）

6 . 已知，请利用尺规作图构造一个以为对角线的平行四边形．小明思考的作法如下：①以点A为圆心为半径画弧；②以点C为圆心为半径画弧，两弧交于点D；③连接、，四边形即为所求的平行四边形．
（1）请完成作图并证明四边形是平行四边形．

（2）当满足条件__________时，平行四边形为正方形．

7 . 如图，是等腰三角形，AB=CD，点D是点B关于AC对称的点．
（1）如图一，若，请利用尺规作图作点D，连接AD、CD，求证：四边形ABCD是正方形．（保留作图痕迹）
（2）如图二，连接AD、CD，四边形ABCD为菱形，点E是BC中点，点O是对角线AC与BD的交点，连接AE，若点O关于线段AE的对称点F在线段AB上，，，求AE的长．
   

8 . 如图，在矩形中．

(1)利用直尺和圆规完成以下基本作图：作的平分线，交于点E，过点E作交于点F；（保留作图痕迹，不写作法、结论）
(2)在（1）所作的图中，证明：四边形是正方形（请补全下面的证明过程，不写依据）．
证明：∵，
∴______________
∵四边形为矩形，
∴，
∴．
∴四边形为______________
∵四边形为矩形，
∴______________
∴．
又∵平分，
∴______________
∴．
∴______________
∴四边形为正方形．

9 . 四边形是平行四边形，对角线，交于点．
（1）如图是的一部分，请用尺规补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）如图，在射线上作一点，使得60°若是等边三角形，求证：是菱形；

（3）在（2）的条件下，若，求证：菱形是正方形．

10 . 如图，由6个长为2，宽为1的小矩形组成的大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，由格点构成的几何图形称为格点图形（如：连接2个格点，得到一条格点线段；连接3个格点，得到一个格点三角形；…），请按要求作图（标出所画图形的顶点字母）．

（1）画出4种不同于示例的平行格点线段；

（2）画出4种不同的成轴对称的格点三角形，并标出其对称轴所在线段；

（3）画出1个格点正方形，并简要证明．