1 . 下面是小明设计的作正方形ABCD的尺规作图过程．
已知：中，．．
求作：正方形．
作法：如图，

1、以点A为图心．长为半径作弧；
2、以点C为圆心，长为半径作弧；
3、两弧交于点D，点B和点D在异侧；
4、连接，，所以四边形是正方形．
(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵______________，______________，
∴四边形是平行四边形．（______________）（填推理的依据）
∵，
∴四边形是矩形．（______________）（填推理的依据）
又∵，
∴四边形是正方形．（______________）（填推理的依据）

2 . 已知：如图1，线段a．求作：正方形形，使得．
          
作法：如图2．
1．在直线上截取．
2．过点B作直线，在直线m上截取线段．
3．分别以点A和点C为圆心，a的长为半径画弧，两弧的交点为D．（点D与点C在直线的同侧）
4．连接．则四边形为所求的正方形．
根据上面设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，在图2中补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：∵，
∴四边形是菱形；（_______________________________），（填推理的依据）
∵直线，
∴___________，
∴四边形ABCD是正方形（____________________）．（填推理的依据）

3 . 下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：如图1，．求作：的内接正方形．
作法：①作的直径；
②作直径的垂直平分线交于点，；
③连接，，，．
∴四边形就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，在图2中补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵是的垂直平分线，
∴．
∴．（___________）（填推理依据）
∴四边形是菱形．（___________）（填推理依据）
∵是的直径，
∴．（___________）（填推理依据）
∴四边形是正方形．

4 . 下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O．

求作：⊙O的内接正方形．
作法：① 作⊙O的直径AB；
② 分别以点A，B为圆心，大于AB同样长为半径作弧，两弧交于M，N；
③ 作直线MN交⊙O于点C，D；
④ 连接AC，BC，AD，BD．
∴ 四边形ACBD就是所求作的正方形．

根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵ MN是AB的                ，
∴ ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°．
∴   AC = BC = BD = AD．（                      ）（填推理依据）
∴ 四边形ACBD是菱形．
又∵AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°．（                              ）（填推理依据）
∴ 四边形ACBD是正方形．

5 . 下面是小明设计的作正方形ABCD的尺规作图过程．

已知：RtABC中，∠ABC＝90°，AB=CB
求作：正方形ABCD．
作法：如图，
1．以点A为圆心，BC长为半径作弧；
2．以点C为圆心，AB长为半径作弧；
3．两弧交于点D．点B和点D在AC异侧；
4．连接AD，CD．
所以四边形ABCD是正方形．
(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：
∵AB＝        ，BC＝        ，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形(        )(填推理的依据)，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形(        )(填推理的依据)．

6 . 下面是小宇设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：
求作：的内正方形．
作法：如图，

①作直径；
②分别以点，为圆心，以大于的同样长为半径作，两弧交于，两点；
③作直线交于点，；
④连接，，，．
所以四边形就是所求作的正方形．
根据小宇设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明
证明：在中
∵，，
∴ ．
∴
∴（   ①   ）（填推理的依据）
∴四边形是菱形（   ②   ）（填推理的依据）
∵是的直径，
∴（   ③   ）（填推理的依据）
∴四边形是正方形．

7 . 下面是小明设计的“在一个矩形内作正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求作：正方形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
四边形ABEF就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB
∴　 　＝　 　．
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（       ）（填推理的依据）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∴四边形ABEF为矩形．（       ）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为正方形．（       ）（填推理的依据）

8 . 解题与遐想．

如图，的内切圆与斜边相切于点， ，． 求：的面积．

   
王小明：
这道题算出来面积刚好是，太凑巧了吧．刚好是，有种白算的感觉
赵丽华：
我把和换成、再算一遍，的面积总是！确实非常神奇了
数学刘老师：
大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？
霍佳：
刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？
拼图演绎
(1)将分割放入矩形中（如左图），现在为了通过拼图能直接“看”出“”，请在右图中画出拼图后的个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注．
          
(2)尺规作图：如图，点在线段上，以为斜边求作一个，使它的内切圆与斜边相切于点．
（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
   

9 . 下面是小明设计的“作一个以已知线段为对角线正方形”的尺规作图过程．
已知：线段AC
求证：四边形ABCD为正方形
作法：如图，   
①作线段AC的垂直平分线MN 交AC于点O；
②以点O为圆心CO长为半径画圆，交直线MN于点B，D；
③顺次连接AB，BC，CD，DA；
所以四边形ABCD为所作正方形．

根据小明设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA=OB，OC=OD，
∴四边形 ABCD为平行四边形．（__________________）（填写推理依据）
∵OA=OB=OC=OD即AC=BD．
∴ABCD为          （__________________）（填写推理依据）．
∵ AC⊥BD，
∴四边形 ABCD为正方形（__________________________）．（填写推理依据）

10 . 下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程．
已知：如图，⊙O．

求作：正方形ABCD，使正方形ABCD内接于⊙O．
作法：如图，
① 过点O作直线AC，交⊙O于点A和C；
② 作线段AC的垂直平分线MN，交⊙O于点B和D；
③ 顺次连接AB，BC，CD和DA；
则正方形ABCD就是所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全如图中的图形；

（2）完成下面的证明：
证明： ∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC =∠ADC =         °，
又∵点B在线段AC的垂直平分线上，
∴ AB = BC，
∴ ∠BAC = ∠BCA =        °．
同理 ∠DAC = 45°．
∴ ∠BAD = ∠BAC +∠DAC = 45° + 45° = 90°．
∴ ∠DAB = ∠ABC = ∠ADC = 90°，
∴ 四边形ABCD是矩形（　                          ）（填依据），
又∵ AB = BC，
∴ 四边形ABCD是正方形．