名校
1 . 下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O．
求作：⊙O的内接正方形．
作法：① 作⊙O的直径AB；
② 分别以点A，B为圆心，大于
AB同样长为半径作弧，两弧交于M，N；
③ 作直线MN交⊙O于点C，D；
④ 连接AC，BC，AD，BD．
∴ 四边形ACBD就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵ MN是AB的 ，
∴ ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°．
∴ AC = BC = BD = AD．（ ）（填推理依据）
∴ 四边形ACBD是菱形．
又∵AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°．（ ）（填推理依据）
∴ 四边形ACBD是正方形．
已知：如图，⊙O．
求作：⊙O的内接正方形．
作法：① 作⊙O的直径AB；
② 分别以点A，B为圆心，大于
AB同样长为半径作弧，两弧交于M，N；③ 作直线MN交⊙O于点C，D；
④ 连接AC，BC，AD，BD．
∴ 四边形ACBD就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵ MN是AB的 ，
∴ ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°．
∴ AC = BC = BD = AD．（ ）（填推理依据）
∴ 四边形ACBD是菱形．
又∵AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°．（ ）（填推理依据）
∴ 四边形ACBD是正方形．
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2022-05-30更新
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409次组卷
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6卷引用：2022年北京市海定区九年级下学期一模数学试卷变式题16-20
（已下线）2022年北京市海定区九年级下学期一模数学试卷变式题16-202022年北京市门头沟区九年级中考二模数学试题北京市陈经纶中学分校2022-2023学年九年级上学期期中统一检测数学试卷北京市朝阳区陈经纶中学分校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题2023年北京师范大学附属中学中考三模数学试题2023年重庆市中考模拟数学模拟预测题
2 . 下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程．
已知：如图，⊙O．
求作：正方形ABCD，使正方形ABCD内接于⊙O．
作法：如图，
① 过点O作直线AC，交⊙O于点A和C；
② 作线段AC的垂直平分线MN，交⊙O于点B和D；
③ 顺次连接AB，BC，CD和DA；
则正方形ABCD就是所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全如图中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明： ∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC =∠ADC = °，
又∵点B在线段AC的垂直平分线上，
∴ AB = BC，
∴ ∠BAC = ∠BCA = °．
同理 ∠DAC = 45°．
∴ ∠BAD = ∠BAC +∠DAC = 45° + 45° = 90°．
∴ ∠DAB = ∠ABC = ∠ADC = 90°，
∴ 四边形ABCD是矩形（ ）（填依据），
又∵ AB = BC，
∴ 四边形ABCD是正方形．
已知：如图，⊙O．
求作：正方形ABCD，使正方形ABCD内接于⊙O．
作法：如图，
① 过点O作直线AC，交⊙O于点A和C；
② 作线段AC的垂直平分线MN，交⊙O于点B和D；
③ 顺次连接AB，BC，CD和DA；
则正方形ABCD就是所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全如图中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明： ∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC =∠ADC = °，
又∵点B在线段AC的垂直平分线上，
∴ AB = BC，
∴ ∠BAC = ∠BCA = °．
同理 ∠DAC = 45°．
∴ ∠BAD = ∠BAC +∠DAC = 45° + 45° = 90°．
∴ ∠DAB = ∠ABC = ∠ADC = 90°，
∴ 四边形ABCD是矩形（ ）（填依据），
又∵ AB = BC，
∴ 四边形ABCD是正方形．
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3 . 如图1，
是线段
上的一点，在的同侧作
和
，使
，
，
，连接
，点
，
，
，
分别是
，，
，的中点，顺次连接，，，．
的形状，直接回答，不必说明理由；
(2)点在线段的上方时，如图2，在
的外部作和，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)如果（2）中，
，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形的形状，并说明理由．
是线段上的一点，在的同侧作和，使，，，连接，点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．
的形状，直接回答，不必说明理由；(2)点
在线段的上方时，如图2，在的外部作和，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)如果（2）中，
，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形的形状，并说明理由．
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2023-07-10更新
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146次组卷
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4卷引用：专题1.7 特殊平行四边形章末八大题型总结（培优篇）-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）
（已下线）专题1.7 特殊平行四边形章末八大题型总结（培优篇）-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）（已下线）期末真题必刷05（压轴大题60题12个考点专练）-2023-2024学年八年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）湖南省益阳市赫山区2022-2023学年八年级下学期6月期末数学试题湖南省益阳市赫山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
4 . 小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示．从下列条件：
①
；②
；③
；④平分
中，选择其中一个条件填入（ ）处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ）
①
；②；③；④平分中，选择其中一个条件填入（ ）处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ）
| A．①③ | B．①④ | C．①③④ | D．②③④ |
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2023-07-04更新
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216次组卷
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6卷引用：第04讲 正方形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2023-2024学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）
（已下线）第04讲 正方形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2023-2024学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）（已下线）第06讲 正方形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2023-2024学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）（已下线）第9章 中心对称图形——平行四边形（17个考点60题）强化训练-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）（已下线）第03讲 正方形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2023-2024学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）江苏省扬州市江都区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题第19章 矩形、菱形与正方形19.3 正方形的判定华东师大版（2012）八年级下册课后作业
5 . 如图，在
中，
．
(1)用尺规作图法作出
的平分线，交于点
（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若
，
，垂足分别为，，判断四边形
的形状，并说明理由．
中，．(1)用尺规作图法作出
的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若
，，垂足分别为，，判断四边形的形状，并说明理由．
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2023-12-26更新
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85次组卷
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3卷引用：专题9.31 正方形（题型分类拓展）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）
（已下线）专题9.31 正方形（题型分类拓展）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）河南省周口市项城市多校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题河南省2023-2024学年九年级上学期12月期末数学试题
6 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于点A，B点A在点B的左侧），与y轴交于点D，已知点C的坐标为
，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．
(1)在图1中作以为斜边的等腰直角三角形．
(2)如图2，
，E是抛物线上的一点，作以对角线的正方形．
与x轴交于点A，B点A在点B的左侧），与y轴交于点D，已知点C的坐标为，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图1中作以
为斜边的等腰直角三角形．(2)如图2，
，E是抛物线上的一点，作以对角线的正方形．
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7 . 阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请你认真阅读并完成相应学习任务：
怎样作直角三角形的内接正方形
如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把这样的正方形叫做该直角三角形的内接正方形．那么，怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以用如下方法：
如图1，在中，，作的角平分线，交斜边于点；然后过点，分别作，
的垂线，垂足分别为，，则
．（依据1）
容易证明四边形
是正方形．
用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．
如图2，如果的内接正方形的一边恰好在斜边上，我就可用如下方法，
第一步：过直角顶点
作
，垂足为；
第二步，延长到
，使得
，连接
；
第三步：作
的平分线，交
于点；
第四步：过点分别作
，
的垂线，垂足分别为，
，
交于点，的延长线交交于；
第五步：分别过点，作的垂线，垂足分别为
，．
则四边形
就是的内接正方形，并且
恰好在该直角三角形的斜边上．
理由如下：易证四边形
是正方形，
．
∵，∴
，
．（依据2）
∴
；
学习任务：
(1)材料中画横线部分的依据分别是：
依据1：___________；依据2：___________．
(2)请完成图2说理过程的剩余部分．
(3)分析图2的作图过程，不难看出是将图2转化成图1去完成的，即先做图形，再将正方形转化为正方形，转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是___________．（填出字母代号即可）．
A．旋转 B．平移 C．轴对称
怎样作直角三角形的内接正方形
如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把这样的正方形叫做该直角三角形的内接正方形．那么，怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以用如下方法：
如图1，在
中，，作的角平分线，交斜边于点；然后过点，分别作，的垂线，垂足分别为，，则．（依据1）容易证明四边形
是正方形． 用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．
如图2，如果
的内接正方形的一边恰好在斜边上，我就可用如下方法，第一步：过直角顶点
作，垂足为；第二步，延长
到，使得，连接；第三步：作
的平分线，交于点；第四步：过点
分别作，的垂线，垂足分别为，，交于点，的延长线交交于；第五步：分别过点
，作的垂线，垂足分别为，．则四边形
就是的内接正方形，并且恰好在该直角三角形的斜边上．理由如下：易证四边形
是正方形，．∵
，∴，．（依据2）∴
；学习任务：
(1)材料中画横线部分的依据分别是：
依据1：___________；依据2：___________．
(2)请完成图2说理过程的剩余部分．
(3)分析图2的作图过程，不难看出是将图2转化成图1去完成的，即先做图形
，再将正方形转化为正方形，转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是___________．（填出字母代号即可）．A．旋转 B．平移 C．轴对称
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8 . 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
(1)如图1，损矩形ABCD，
，则该损矩形的直径是线段______．
(2)在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请用尺规作出这个圆，并说明你的理由．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图2，△ABC中，
，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD．
①当BD平分
时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．
②在①的条件下，若
，
，请求BD的长．
(1)如图1，损矩形ABCD，
，则该损矩形的直径是线段______．(2)在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请用尺规作出这个圆，并说明你的理由．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图2，△ABC中，
，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD．①当BD平分
时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．②在①的条件下，若
，，请求BD的长．
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2022-05-16更新
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154次组卷
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3卷引用：2022年山东青岛市高新区九年级一模数学试题变式题11-15
（已下线）2022年山东青岛市高新区九年级一模数学试题变式题11-152022年山东省淄博市张店区中考一模数学试题江苏省盐城市滨海县初中教育集团10月份限时练习2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题
9 . 如图，已知菱形ABCD，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）
(2)如图2，点E是对角线AC上的点，
，
，以DE为边画一个正方形．
(2)如图2，点E是对角线AC上的点，
，，以DE为边画一个正方形．
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2022-04-29更新
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177次组卷
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3卷引用：专题05 矩形、菱形、正方形性质与判定之八大题型-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（人教版）
（已下线）专题05 矩形、菱形、正方形性质与判定之八大题型-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（人教版）江西省吉安市十校联盟2021-2022学年九年级下学期期中考试数学试题江西省吉安市永丰县2021-2022学年九年级下学期期中数学试题
10 . 如图，在
中，已知
，
于点D．
小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出
，
的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长
，
相交于点G．请按照小明的思路，探究并解答下列问题：
是正方形．
(2)若
，
，试求出的长．
中，已知，于点D．小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线
，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G．请按照小明的思路，探究并解答下列问题：
是正方形．(2)若
，，试求出的长．
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