3 . （1）问题发现
如图1，四边形为矩形，，，点在矩形的对角线上，的两条直角边、分别交、于点、，当，时，__________（用含、的代数式表示）；
（2）拓展探究
在（1）中，固定点，使绕点旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的图形给出证明；
（3）问题解决
如图3，四边形为正方形，，点在对角线上，、分别在、上，，当时（是正实数），直接写出四边形的面积是__________（用含，的代数式表示）．
   

5 . 数学课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．

(1)【操作判断】
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．根据以上操作，填空：图2中与的数量关系是__________；四边形的形状是__________；
(2)【迁移探究】
小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：将三角板按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由；若能，请求出的长；
(3)【拓展应用】
在（2）的探究过程中，当为等腰三角形时，的长是________．

6 . 在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

(1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：　　筝形（填“是”或“不是”）；
(2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明；
(3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长交于点G．
①若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数；
②若，，求的长．

7 . 如图，在矩形纸片中，，．点E是边上一点，将沿翻折得到．
(1)【问题解决】（1）如图①，当点B落在边上的点G处时，若，求和的长；
(2)【类比探究】（2）如图②，当点E和点A重合时，点B落在边上的点G处，折痕为．判定四边形的形状，并说明理由；
(3)【拓展应用】（3）如图③，当点E和点A重合时，点B落在矩形内部的点G处，折痕为，平分交于点M，连接，当的长度最短时，直接写出的长．
   

8 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
   
(1)操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形的形状是__________；
②图2中与的数量关系是__________；四边形的形状是__________．
(2)迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板 边长为，过程如下：
将三角板按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长．
(3)拓展应用
在（2）的探究过程中；
当为等腰三角形时，请直接写出的长；

9 . 综合与实践综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动．

(1)操作判断：如图1，在中，，点P是直线上一动点．操作一：连接，将线段绕点P逆时针旋转得到，连接，如图2．根据以上操作，判断：如图3，当点P与点A重合时，则四边形的形状是          ；
(2)迁移探究：①如图4，当点P与点C重合时，连接，判断四边形的形状，并说明理由；
②当点P与点A，点C都不重合时，试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
(3)拓展应用：当点P与点A，点C都不重合时，若，请直接写出的长．

10 . 综合与实践
综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，在中，，点P是直线 上一动点．
操作：连接，将线段绕点P逆时针旋转90°得到，连接，如图2．
根据以上操作，判断：如图3，当点P与点A重合时，则四边形的形状是 　 　；
（2）迁移探究
①如图4，当点P与点C重合时，连接，判断四边形的形状，并说明理由；
②当点P与点A，点C都不重合时，试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
（3）拓展应用
当点P与点A，点C都不重合时，若，请直接写出的长．