1 . 综合与实践：
如图1，已知△ABC，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点．
（1）观察猜想
在图1中，线段PM与QM的数量关系是　      　．
（2）探究证明
当∠BAC＝60°，把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，判断△PMQ的形状，并说明理由．
（3）拓展延伸
当∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD＝AE＝2，再连接BE，再取BE的中点N，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，
①请你判断四边形PMQN的形状，并说明理由．
②请直接写出四边形PMQN面积的最大值．

2 . 数学活动
问题情境：
如图1，在∆ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，将∆ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)得到∆AD′E′，连接CE′，BD′.探究CE′与BD′的数量关系；
图1　　 图2      图3　　 图4
探究发现：
(1)图1中，CE′与BD′的数量关系是 ；
(2)如图2，若将问题中的条件“D，E分别是边AB，AC的中点”改为“D为AB边上任意一点，DE∥BC交AC于点E”，其他条件不变，(1)中CE′与BD′的数量关系还成立吗？请说明理由；
拓展延伸：
(3)如图3，在(2)的条件下，连接BE′，CD′，分别取BC，CD′，E′D′，BE′的中点F，G，H，I，顺次连接F，G，H，I得到四边形FGHI.请判断四边形FGHI的形状，并说明理由；
(4)如图4，在∆ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将∆ADE绕点A顺时针旋转60°得到∆AD′E′，连接CE′，BD′.请你仔细观察，提出一个你最关心的数学问题(例如：CE′与BD′相等吗？)．

3 . 数学活动课上，老师给出如下问题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开，得到等腰直角三角形△ABC与△EFD，将△EFD的直角顶点在直线BC上平移，在平移的过程中，直线AC与直线DE交于点Q，让同学们探究线段BQ与AD的数量关系和位置关系．
请你阅读下面交流信息，解决所提出的问题．
展示交流：
小敏：满足条件的图形如图甲所示图形，延长BQ与AD交于点H．我们可以证明△BCQ≌△ACD，从而易得BQ=AD，BQ⊥AD．
小慧：根据图甲，当点F在线段BC上时，我们可以验证小慧的说法是正确的．但当点F在线段CB的延长线上（如图乙）或线段CB的反向延长线上（如图丙）时，我对小慧说法的正确性表示怀疑．
（1）请你帮助小慧进行分析，小敏的结论在图乙、图丙中是否成立？请说明理由．
（选择图乙或图丙的一种情况说明即可）．

（2）小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是           ．
拓展延伸：
根据你上面选择的图形，分别取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N、P、T．则四边形MNPT是什么样的特殊四边形？请说明理由．

4 . 【感知】“如图1，平分，作，、分别交射线于、两点，连结，求的度数．”为了求解问题，某同学做了如下的分析：“过点作于点，于点．”进而求解，则的度数是_______．
【拓展】如图2，一般地，设，平分，，分别交射线于A、B两点，连结，求的度数．（用含α的代数式表示）

5 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断：操作一：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处．得到折痕；
操作二：将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕交于点M，如图2．
根据以上操作：
①写出图1中一个的角：          ；
②判断四边形的形状，并证明；
(2)拓展应用：图2中，写出线段与的数量关系，并说明理由．

6 . 【探索发现】
如图1，是等边三角形，点D为边上一个动点，将绕点A逆时针旋转得到，连接．小明在探索这个问题时发现四边形是菱形．

小明是这样想的：

（1）请参考小明的思路写出证明过程；
（2）直接写出线段之间的数量关系：　　；
【理解运用】
如图2，在中，于点D．将绕点A逆时针旋转得到，延长与交于点G．
（3）判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展迁移】
（4）在（3）的前提下，如图3，将沿折叠得到，连接，若，，求的长．

7 . 【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容．

如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
(1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．
求证：四边形是正方形．（请完成以下填空）
证明：四边形是矩形，
，
折叠，，
四边形是矩形（）．
折叠，，
四边形是正方形（）
(2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上．
①求证：四边形是菱形．
②连结，若，，求菱形的面积．

9 . 【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容．

如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么?
(1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片ABCD(AD>AB)，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在BC上．
求证：四边形ABEF是正方形．(请完成以下填空)
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°，
∵折叠，∠AFE=∠B=90°，
∴四边形ABEF是矩形(       )
∵折叠，∴AB＝(       )，
∴四边形ABEF是正方形(       )
(2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD(AD>AB)，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边 BC上．
①求证：四边形ABEF是菱形．
②连结BF，若AE＝5，BF＝10，求菱形ABEF的面积．