1 . 在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴、y轴上，点，点，且m、n满足．

（1）填空：矩形是__________，点B的坐标为_________；
（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连、、，，试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2，点F在线段上，连，作于M，于N．当F在线段上运动时（不与O、A重合），的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．

2 . 如图所示，△ABC中，已知：∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=3，DC=2，求△ABC 的面积．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为G、F，延长GB、FC相交于H点，证明四边形AGHF是正方形；
（2）设AD等于x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
小萍是这样思考的：由折叠得：AG= ，AF= ，然后利用勾股定理就可以求出x的值，其后求出△ABC 的面积．请你写出后面的推理过程．

3 . 如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点．
（1）探究与的数量关系并加以证明.
（2）连接，当点在边上运动时，四边形可能为菱形吗？若可能，请证明；若不可能，请说明理由．
（3）连接，当点在上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．
（4）在（3）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．

4 . 问题情填，
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD、并且量得AB＝2cm，AC＝4cm.
操作发现：
(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到加图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是_________；
(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC'的中点F，连精AF并延长到点G，使FG＝AF，连接CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论.
实践探究：
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H.如图4所示，连接CC'，试求CH的长度.

5 . 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“邻好四边形”．
(1)概念理解：
如图1，在四边形中，添加一个条件，使得四边形是“邻好四边形”，请写出你添加的一个条件________；

(2)概念延伸：
下列说法正确的是________．(填入相应的序号)
①对角线互相平分的“邻好四边形”是菱形；
②一组对边平行，另一组对边相等的“邻好四边形”是菱形；
③有两个内角为直角的“邻好四边形”是正方形；
④一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“邻好四边形”是正方形；
(3)问题探究：
如图，小红画了一个，其中，，，并将沿的平分线方向平移得到，连结，，要使平移后的四边形是“邻好四边形”应平移多少距离(即线段的长)？

6 . 综合与探究：
如图1，的直角顶点在坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作轴于点，抛物线经过点，与轴交于点，直线与轴交于点．
（1）求点的坐标及抛物线的表达式；
（2）如图2，已知点是线段上的一个动点，过点作的垂线交抛物线于点（点在第一象限），设点的横坐标为．
①点的纵坐标用含的代数式表示为________；
②如图3，当直线经过点时，求点的坐标，判断四边形的形状并证明结论；
③在②的前提下，连接，点是坐标平面内的点，若以，，为顶点的三角形与全等，请直接写出点的坐标．

7 . 问题情境
如图1，已知矩形ABCD中，点E，F是AD，BC的中点，连接EF，将矩形ABCD沿FF剪开，得到四边形ABFE和四边形EPCD．
（1）求证：四边形EPCD是矩形；
操作探究
保持矩形EPCD位置不变，将矩形ABFE从图1的位置开始，绕点E按逆时针方向旋转．设旋转角为α（O°＜α＜360°）操作中，提出了如下问题，请你解答．
（2）如图2，当矩形ABFE旋转到点A落在线段EP上时，线段EF恰好经过点D，设DC与AB相交于点G．判断四边形EAGD的形状，并说明理由．
（3）在矩形ABFE旋转过程中连接线段AP和BP，当AP＝BP时，求旋转角α的度数．

8 . 如图所示，若四边形是正方形，点，，，分别为，，，的中点.
（1）求证：四边形是正方形.
（2）若将正方形改为任意四边形，且，，是探究四边形的形状.

9 . 如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交CA的外角平分线于点F．

探究：线段与的数量关系并加以证明；
当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？
当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．

10 . 如图，△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．

Ⅰ、证明：△BDG≌△CEF；
Ⅱ、探究：怎样在铁片上准确地画出正方形．
小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答．如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分．
Ⅱa、小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了．
设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长．（结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化）
Ⅱb、小明想：不求正方形的边长也能画出正方形．具体作法是：
①在AB边上任取一点G′，如图作正方形G′D′E′F′；
②连接BF′并延长交AC于F；
③作FE∥F′E′交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，则四边形DEFG即为所求．
你认为小明的作法正确吗？说明理由．