1 . 问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：
如图1，在正方形中，点分别在边上，且，垂足为M．那么与相等吗？

            

（1）直接判断：___________（填“”或“”）；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：
（2）如图2，在正方形中，点分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论；
问题拓展：
（3）如图3，在（2）的条件下，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．
①四边形是正方形吗？请说明理由；
②若，如图4，点在上，且，直接写出的最小值为__________．

2 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．

   

(1)操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形的形状是__________；
②图2中与的数量关系是__________；四边形的形状是__________．
(2)迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板 边长为，过程如下：
将三角板按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长．
(3)拓展应用
在（2）的探究过程中；
当为等腰三角形时，请直接写出的长；

3 . [问题提出]在等腰中，AB＝BC，，点D，E分别在边，上（不同时在点A），连接，将线段DE绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，探究与的位置关系．

(1)[问题探究]先将问题特殊化，如图1，点D，E分别与点B，C重合，直接写出与的位置关系；
(2)再探讨一般情形，如图2，证明（1）中的结论仍然成立．
[问题拓展]
(3)如图3，在等腰中，，，D为的中点，点E在边上，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，点G是点C关于直线的对称点，若点G，D，F在一条直线上，求的值．

4 . 问题情境：如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠，点的对应点为点．
特例探究：（1）如图1，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由．
拓展延伸：（2）如图2，当点在矩形内部时，延长交边于点．
①试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
②当点分边的比为时，请直接写出矩形的边长和之间的数量关系，不用说明理由．

5 . 综合与实践：
如图1，已知△ABC，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点．
（1）观察猜想
在图1中，线段PM与QM的数量关系是　      　．
（2）探究证明
当∠BAC＝60°，把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，判断△PMQ的形状，并说明理由．
（3）拓展延伸
当∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD＝AE＝2，再连接BE，再取BE的中点N，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，
①请你判断四边形PMQN的形状，并说明理由．
②请直接写出四边形PMQN面积的最大值．

6 . 【感知】“如图1，平分，作，、分别交射线于、两点，连结，求的度数．”为了求解问题，某同学做了如下的分析：“过点作于点，于点．”进而求解，则的度数是_______．
【拓展】如图2，一般地，设，平分，，分别交射线于A、B两点，连结，求的度数．（用含α的代数式表示）

7 . 问题情境：数学课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G．试判断四边形的形状，并说明理由．

（1）数学思考：请你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，求的长．

8 . 【问题情境】
在数学活动课上，同学们以小组为单位开展“矩形纸片的剪拼”活动，如图（1），将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．同学们测量得，．
      
【操作发现】
（1）①快乐小组将这两张三角形纸片按图（2）摆放，连接，发现与的关系为______；
②快乐小组将图（2）中纸片沿射线的方向平移，连接，，在平移的过程中，如图（3），当与平行时，发现四边形的形状是______；
（2）超越小组将图（1）中的以点为旋转中心，按顺时针方向旋转，
①当，得到如图（4）所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，直接写出四边形的形状是______；
②当点在同一条直线上时，得到如图（5）所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接、，得到四边形，请判断四边形的形状，并证明你的结论；
【实践探究】
（3）如图（6），创新小组在图（5）的基础上，进行如下操作：将沿着射线的方向向左平移，使点与点重合，与相交于点，直接写出______．

9 . 定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中正四边形”．

   

(1)概念理解：下列四边形中一定是“中正四边形”的是______ ；
A．平行四边形     B．矩形     C．菱形     D．正方形
(2)性质探究：如图，四边形是“中正四边形”，观察图形，直接写出关于四边形对角线的两条结论；
(3)问题解决：如图，为锐角三角形，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，，求证：四边形是“中正四边形”．