1 . 阅读材料：
已知：如图，、、、是抛物线上的四个点，其横坐标依次记为、、、，连接，，且．

求证：．
证明：设直线的解析式为，直线的解析式为，由得，则；同理，所以．
应用知识：
(1)由阅读材料可知：当时，有，所以．那么线段，中点的连线和轴的位置关系为______；
(2)如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，过点作直线的平行线交抛物线于另一点，交轴于点．
①过点作轴，交于点．求证：；
②若，求的值．

3 . 小明最近学习了三角形的角平分线相关知识，进一步进行探究之后发现，三角形的一条角平分线分三角形一边的两线段之比值恰好等于三角形的另外两边之比值．
请根据以下思路完成作图和填空：
在中，平分，在的右侧作（保留作图痕迹，不写过程）；
延长交与点E，求证：．
   
证明：∵
①
∴
又∵平分
②
∴
③
又∵
④
∴．

4 . 阅读与思考

已知一个三角形的三条边长，怎样求出其内角平分线的长度？ 如图，在中，是内角平分线， 求证：； 求证：. 证明：如图，过点作交的延长线于点. 依据，. 是内角平分线， ， ， . 如图，画出的外接，延长的内角平分线交于点，连接. ，依据， ， ，即.         ，即， ， .

任务：
(1)填空：笔记中的“依据”是______ ；“依据”是______ ；
(2)请将笔记第（2）问证明过程的缺失部分内容补充完整；
(3)应用：在中，为的角平分线若，，，请直接写出，，的长.

5 . “关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
(1)如图①，是的角平分线，求证．

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．

请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．

【作图应用】
(2)如图②，是的弦，在上作出点P，使得．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

【深度思考】
(3)如图③，是的角平分线，若，则的面积最大值是______．

8 . 【教材呈现】如图是华师版九年级上册第77-78页部分内容：
如图，在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且．
结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

证明：在中，
点、分别是与的中点，，
，，
，，，且．
【探究】如图①，中，点、分别为边、的中点，点、在边上．若，求证：．
【应用】如图②，中，点、分别为边、的中点，在线段上（不与点、重合），点、分别为线段、的中点，若，则_______．
【拓展提升】如图③，在中，、分别在边、上．，在线段上取一点，（点不与点、重合），连接并延长交于点．点、在线段上，且，，若，求的值