1 . 阅读材料:
已知:如图,、、、是抛物线上的四个点,其横坐标依次记为、、、,连接,,且.
求证:.
证明:设直线的解析式为,直线的解析式为,由得,则;同理,所以.
应用知识:
(1)由阅读材料可知:当时,有,所以.那么线段,中点的连线和轴的位置关系为______;
(2)如图,已知抛物线与轴交于,两点(点在点的左边),与轴交于点,过点作直线的平行线交抛物线于另一点,交轴于点.
①过点作轴,交于点.求证:;
②若,求的值.
已知:如图,、、、是抛物线上的四个点,其横坐标依次记为、、、,连接,,且.
求证:.
证明:设直线的解析式为,直线的解析式为,由得,则;同理,所以.
应用知识:
(1)由阅读材料可知:当时,有,所以.那么线段,中点的连线和轴的位置关系为______;
(2)如图,已知抛物线与轴交于,两点(点在点的左边),与轴交于点,过点作直线的平行线交抛物线于另一点,交轴于点.
①过点作轴,交于点.求证:;
②若,求的值.
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2 . 【问题初探】
在数学活动课上,张老师给出如下问题:“如图1,在中,是的角平分线,求证:”,有两名同学给出了不同的解答思路:
①如图2,小丽同学从结论出发给出如下解题思路:过点C作的平行线交的延长线于点E,运用等腰三角形和相似等知识解决问题.
②如图3,小强同学从“是的角平分线”给出了另一种解题思路:在上截取,连接,过点C作的平行线交的延长线于点G,也是利用相似等知识解决问题.
(1)请你选择一名同学的解答思路,写出证明过程.
【类比分析】
张老师发现之前两名同学都运用了转化思想,将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对应边的比.为了帮助学生更好地领悟这种转化思想,张老师将问题进行了改编,提出下面问题,请你解答.
(2)如图4,若的外角平分线交的延长线于点D,求证:.
【学以致用】
(3)如图5,在四边形中,,,,平分,求的长.
在数学活动课上,张老师给出如下问题:“如图1,在中,是的角平分线,求证:”,有两名同学给出了不同的解答思路:
①如图2,小丽同学从结论出发给出如下解题思路:过点C作的平行线交的延长线于点E,运用等腰三角形和相似等知识解决问题.
②如图3,小强同学从“是的角平分线”给出了另一种解题思路:在上截取,连接,过点C作的平行线交的延长线于点G,也是利用相似等知识解决问题.
(1)请你选择一名同学的解答思路,写出证明过程.
【类比分析】
张老师发现之前两名同学都运用了转化思想,将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对应边的比.为了帮助学生更好地领悟这种转化思想,张老师将问题进行了改编,提出下面问题,请你解答.
(2)如图4,若的外角平分线交的延长线于点D,求证:.
【学以致用】
(3)如图5,在四边形中,,,,平分,求的长.
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3 . 问题情境:“综合实践”课上,小聪发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,已知是的角平分线,可证.小聪证明思路是:如图2,过点作,交的延长线于点,构造相似三角形来证明.
(1)数学思考:请参照小聪提供的思路,利用图2证明.
(2)深入探究:如图3,已知是的一个外角的平分线,与的延长线交于点,其中.求证:.
(3)应用拓展:如图4,直角坐标系中,直线()与轴、轴分别相交于点、,以为半径的为与线段相交于点,与轴的正半轴相交于点,与轴的负半轴相交于点.交于点,求的值.
(1)数学思考:请参照小聪提供的思路,利用图2证明.
(2)深入探究:如图3,已知是的一个外角的平分线,与的延长线交于点,其中.求证:.
(3)应用拓展:如图4,直角坐标系中,直线()与轴、轴分别相交于点、,以为半径的为与线段相交于点,与轴的正半轴相交于点,与轴的负半轴相交于点.交于点,求的值.
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名校
4 . 小明最近学习了三角形的角平分线相关知识,进一步进行探究之后发现,三角形的一条角平分线分三角形一边的两线段之比值恰好等于三角形的另外两边之比值.
请根据以下思路完成作图和填空:
在中,平分,在的右侧作(保留作图痕迹,不写过程);
延长交与点E,求证:.
证明:∵
①
∴
又∵平分
②
∴
③
又∵
④
∴.
请根据以下思路完成作图和填空:
在中,平分,在的右侧作(保留作图痕迹,不写过程);
延长交与点E,求证:.
证明:∵
①
∴
又∵平分
②
∴
③
又∵
④
∴.
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2022九年级上·全国·专题练习
5 . 如图,的直径,有一条定长为的动弦在上滑动(点C与A,点D与B不重合),交于F,交于E.
(1)求证:;
(2)在动弦滑动的过程中,四边形的面积是否为定值?若是定值,请给出证明并求这个定值;若不是,请说明理由.
(1)求证:;
(2)在动弦滑动的过程中,四边形的面积是否为定值?若是定值,请给出证明并求这个定值;若不是,请说明理由.
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6 . 阅读与思考
请仔细阅读下列材料,并完成相应的任务.
任务:
(1)请补全以上证明过程.
(2)应用以上结论解答问题:如图,在中,,,求证:.
请仔细阅读下列材料,并完成相应的任务.
下面是小宇同学运用面积的思想对“平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.”进行了证明. 如图,在中,D,E是边,且.求证:. 证明:如图,分别连接. 设点E到的距离为,点D到的距离为, ,… |
(1)请补全以上证明过程.
(2)应用以上结论解答问题:如图,在中,,,求证:.
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7 . 阅读与思考
任务:
(1)填空:笔记中的“依据”是______ ;“依据”是______ ;
(2)请将笔记第(2)问证明过程的缺失部分内容补充完整;
(3)应用:在中,为的角平分线若,,,请直接写出,,的长.
已知一个三角形的三条边长,怎样求出其内角平分线的长度? 如图,在中,是内角平分线, 求证:; 求证:. 证明:如图,过点作交的延长线于点. 依据,. 是内角平分线, , , . 如图,画出的外接,延长的内角平分线交于点,连接. ,依据, , ,即. ,即, , . |
(1)填空:笔记中的“依据”是______ ;“依据”是______ ;
(2)请将笔记第(2)问证明过程的缺失部分内容补充完整;
(3)应用:在中,为的角平分线若,,,请直接写出,,的长.
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8 . “关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多……
(1)如图①,是的角平分线,求证.
请根据小明或小红的思路,选择一种并完成证明.
【作图应用】
(2)如图②,是的弦,在上作出点P,使得.
要求:(1)用直尺和圆规作图;(2)保留作图的痕迹,写出必要的文字说明.
【深度思考】
(3)如图③,是的角平分线,若,则的面积最大值是______.
(1)如图①,是的角平分线,求证.
小明思路:关联“平行线、等腰三角形”,利用“三角形相似”. 小红思路:关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”,利用“等面积法”. |
【作图应用】
(2)如图②,是的弦,在上作出点P,使得.
要求:(1)用直尺和圆规作图;(2)保留作图的痕迹,写出必要的文字说明.
【深度思考】
(3)如图③,是的角平分线,若,则的面积最大值是______.
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2023-02-18更新
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657次组卷
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5卷引用:江苏省南京市联合体2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
江苏省南京市联合体2022-2023学年九年级上学期期末数学试题江苏省南京市六合区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题2023年江苏省宿迁市中考一模数学试题江苏省盐城市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(已下线)专题09圆的有关位置关系及计算1(十大类型)-【好题汇编】备战2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编(苏科版)
9 . 如图1,点G在正方形的对角线上,于E,于F.(1)证明与推断:
①求证:四边形是正方形;
②推断:___________;
(2)探究与证明:
将正方形绕点C顺时针方向旋转角(),如图2,试探究线段与之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展与运用:
正方形在旋转过程中,当B、E、F三点在一条直线上时,如图3,延长交于点H,若,,求的长.
①求证:四边形是正方形;
②推断:___________;
(2)探究与证明:
将正方形绕点C顺时针方向旋转角(),如图2,试探究线段与之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展与运用:
正方形在旋转过程中,当B、E、F三点在一条直线上时,如图3,延长交于点H,若,,求的长.
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2022-12-13更新
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115次组卷
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3卷引用:广东省梅州市东山学校2021-2022学年九年级上学期数学期末考试试卷
名校
10 . 在四边形中,,点E在上,连接,与交于点F,,;
(1)如图1,求证:四边形是平行四边形;
(2)如图2,若,猜想和之间的数量关系,并证明;
(3)如图3,在(2)的条件下,W为中点,K为中点,E为的中点,连接,,若,求的长.
(1)如图1,求证:四边形是平行四边形;
(2)如图2,若,猜想和之间的数量关系,并证明;
(3)如图3,在(2)的条件下,W为中点,K为中点,E为的中点,连接,,若,求的长.
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