2 . “关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
(1)如图①，是的角平分线，求证．

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．

请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．

【作图应用】
(2)如图②，是的弦，在上作出点P，使得．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

【深度思考】
(3)如图③，是的角平分线，若，则的面积最大值是______．

4 . 【教材呈现】如图是华师版九年级上册第77-78页部分内容：
如图，在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且．
结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

证明：在中，
点、分别是与的中点，，
，，
，，，且．
【探究】如图①，中，点、分别为边、的中点，点、在边上．若，求证：．
【应用】如图②，中，点、分别为边、的中点，在线段上（不与点、重合），点、分别为线段、的中点，若，则_______．
【拓展提升】如图③，在中，、分别在边、上．，在线段上取一点，（点不与点、重合），连接并延长交于点．点、在线段上，且，，若，求的值

5 . 【问题情境】
如图①，小区、位于一条笔直的道路的同侧，为了方便，两个小区居民投放垃圾，现在上建一个垃圾分类站，使得与，的距离之比为．

【初步研究】
（1）在线段上作出点，使．
如图，做法如下：

第一步：过点作射线，
以为圆心，任意长为半径画弧，交于点；
以为圆心，长为半径画弧，交于点；
以为圆心，长为半径画弧，交于点．
第二步：连接，作，交于点．
则点即为所求．
请证明所作的点满足．
【深入思考】
（2）如图，点在线段上，点在直线外，且．
求证：是的平分线．

【问题解决】
（3）如图，已知点，和直线，点在线段上，且．用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（ⅰ）在直线上作出点（异于点），使；
（ⅱ）在直线上作出点，使．

6 . 不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．
   
(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．

9 . 如何拍出大长腿的效果？
【数学眼光】
如图①，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条．

   

【数学思维】
（1）针孔相机的成像原理：如图②，由于光的直射，人的足部A与头部B通过小孔O的成像分别在，处，线段的像是线段，上点C的像是点C′．若，求证：．

   

【数学语言】
（2）如图③，小美站立在A处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．
①试说明能拍出大长腿效果的理由；
②若，，则 ．