2 . “关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
(1)如图①，是的角平分线，求证．

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．

请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．

【作图应用】
(2)如图②，是的弦，在上作出点P，使得．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

【深度思考】
(3)如图③，是的角平分线，若，则的面积最大值是______．

5 . 如图，已知点P、Q分别是矩形ABCD中AB、CD边上的动点（不与点A、B、C、D重合），PE∥BQ交AQ于点E，连接PQ．AB＝8，BC＝6，设△PEQ的面积为S．

(1)当点P运动到AP＝2时，无论点Q运动到CD边的何处，S＝_____；
(2)在点P、Q的运动过程中，
①若S＝，求AP的长；
②求S的最大值．

6 . 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点P从点B向点A运动，点Q从点A向点C运动，两点同时出发，当点P到达点A时停止（同时点Q也停止），连接PQ，以PQ为边顺时针方向作正方形PQEF．已知AB＝10，tanA＝，BP＝AQ．

（1）若点P运动到AB中点处，求正方形PQEF的边长；
（2）若点E落在△ABC的一边上，求BP长；
（3）在点P、Q的运动过程中，△APQ的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值，若不存在，请说明理由．

8 . 如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，点B的坐标为，点D是对角线OB上的动点，点E是x轴上的点，点F是x轴下方一点，构造矩形．
   
(1)当时，求的长；
(2)如图2，当点A、D、C三点共线时，求线段的长；
(3)当四边形是正方形时，此时的长为     ；
(4)若将条件“构造矩形”改为“构造菱形”，其它条件不变，线段是否存在最小值，如果有，请直接写出答案，如果没有，请说明理由．