3 . 【教材呈现】如图是华师版九年级上册第77-78页部分内容：
如图，在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且．
结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

证明：在中，
点、分别是与的中点，，
，，
，，，且．
【探究】如图①，中，点、分别为边、的中点，点、在边上．若，求证：．
【应用】如图②，中，点、分别为边、的中点，在线段上（不与点、重合），点、分别为线段、的中点，若，则_______．
【拓展提升】如图③，在中，、分别在边、上．，在线段上取一点，（点不与点、重合），连接并延长交于点．点、在线段上，且，，若，求的值

4 . 如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形和矩形，点、在边上（），且点、、、在直线的同侧；第二步，设置，矩形能在边上左右滑动；第三步，画出边的中点，射线与射线相交于点（点、不重合），射线与射线相交于点（点、不重合），观测、的长度．

   

(1)如图，小丽取，滑动矩形，当点、重合时，______；
(2)小丽滑动矩形，使得恰为边的中点．她发现对于任意的总成立．请说明理由；
(3)经过数次操作，小丽猜想，设定、的某种数量关系后，滑动矩形，总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．

5 . 如图1是小慧购买的某款黄金分割尺实物图，小慧观察测量发现：，，．在阅读使用说明书后思考提出一些问题，请你完成下列的解答．
使用说明书：分别拉动，使A、B分别落在线段的两端，这时点D就是是该线段的黄金分割点．即：．

   

(1)在该黄金分割尺中应等于=______．
(2)根据小慧测量结果，求证：A、D、B三点共线．
(3)深度学习探究：
如图1，能否设计一把“万能分割尺”，使得为需要的任意比．
如图2．用四根小木棒制作了可以调整C，E、F位置的“万能分割尺”
根据上述对话，在OA=OB的条件下，至少再补充下列哪几个选项作为条件，才能制作出该尺．①；②；③；④；⑤．我选择条件是______（填序号）
(4)如图3，在中，，，，调节图2中C、E、F三点到适当位置，仅使用该分割尺，可直接作出以为直径的圆与边的交点D，请写出你的设计方案（要求：写出点C，E、F必须满足的条件）．