1 . 问题：A4 纸给我们矩形的印象，这个矩形是特殊矩形吗？
思考：通过度量、上网查阅资料，小丽同学发现 A4 纸的长与宽的比是一个特殊值“” ．
定义：如图 1，点 C 把线段 AB 分成两部分，如果，那么点 C 为线段 AB 的“白银分割点”，如图 2，矩形 ABCD 中， ，那么矩形 ABCD叫做白银矩形．


应用：
(1)如图 3，矩形 ABCD 是白银矩形、AD>AB，将矩形沿着 EF 对折．求证：矩形 ABFE 也是白银矩形；
(2)如图 4，矩形 ABCD 中，AB=1，BC=，E 为 CD 上一点，将矩形 ABCD 沿BE 折叠，使得点 C 落在 AD 边上的点 F 处，延长 BF 交 CD 的延长线于点 G，说明点 E 为线段 GC 的“白银分割点”；
(3)已知线段 AB（如图 5），作线段 AB 的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

3 . 两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．

(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为            ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．

4 . △ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；
（1）如图1，若D为BC的中点，，求证：AF＝FD；
（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得；
（3）若F为AD的中点，设，请求出m、n之间的等量关系．

5 . 如图，在大小为的正方形网格中，的顶点均是网格线的交点，对角线、交于点．如果对于一个平行四边形，两条对角线将它分成4个小三角形（对角线的交点是每个小三角形的一个顶点），那么我们把依次连接每个小三角形的重心所得的四边形称为这个平行四边形的重心四边形．

(1)请在图中仅用无刻度的直尺作出的重心；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若的面积记为，的重心四边形的面积记为，求的值．

8 . “关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
(1)如图①，是的角平分线，求证．

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．

请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．

【作图应用】
(2)如图②，是的弦，在上作出点P，使得．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

【深度思考】
(3)如图③，是的角平分线，若，则的面积最大值是______．

9 .
(1)如图1，在□ABCD中，E为AD的中点，在BD上找出一点F，使得DF：BF＝1：2，请仅用无刻度的直尺完成画图，不写画法，保留画图痕迹．
(2)如图2，若点P在△ABC内，请用直尺（不带刻度）和圆规、过点P作线段MN，M在AB边上，N在AC边上，满足PM：PN＝1：2．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

10 . 如图所示的网格中，每个小正方形的边长都等于1，点A、B在格点上，点C在直线l上，先完成下面计算，再仅用无刻度的直尺完成下列作图．（不要求写出作图步骤，但要保留作图痕迹）
(1)AB＝______；
(2)若AC＋BC最小，请在图中作出点C；
(3)在（2）中，连接AC、BC，请借助已有网格图，作出的中线AM．