2023九年级·全国·专题练习
1 . 在
中，
，
，点D为线段
上一动点，连接
．
(1)如图1，若
， 
，求线段
的长；
(2)如图2，以为边在上方作等边
，点F是
的中点，连接
并延长，交的延长线于点G．若
，求证：
；
(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点M为所在直线上一点，将
沿
所在直线翻折至
所在平面内得到
．连接
，点P为的中点，连接
，当取最大值时，连接
，将
沿
所在直线翻折至所在平面内得到
，请直接写出此时
的值．
中，，，点D为线段上一动点，连接． (1)如图1，若
， ，求线段的长；(2)如图2，以
为边在上方作等边，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G．若，求证：；(3)在
取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点M为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到．连接，点P为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．
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2 . （1）计算：
（2）抛物线
图象经过
，求抛物线的最大值．
（2）抛物线
图象经过，求抛物线的最大值．
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3 . （1）计算：
．
（2）求二次函数
的最大值．
．（2）求二次函数
的最大值．
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4 . （1）计算：
．
（2）探究二次函数
及其图象的性质，请填空：
①图象的开口方向是 ；
②图象的对称轴为直线 ；
③图象与y轴的交点坐标为 ；
④当x＝ 时，函数y有最小值，最小值为 ．
．（2）探究二次函数
及其图象的性质，请填空：①图象的开口方向是 ；
②图象的对称轴为直线 ；
③图象与y轴的交点坐标为 ；
④当x＝ 时，函数y有最小值，最小值为 ．
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5 . 如图，在等腰中，
，
，
，
交于点O，过A作
的垂线交BC于D，过D作
的垂线交于G．连接
并延长交于M．
(1)求证：
；
(2)连接
．求证：
．
(3)作射线
，在上是否存在一点K，使
的和有最小值，如果有请求出这个最小值，并求出此时
的长；如果不存在，请说明理由．
中，，，，交于点O，过A作的垂线交BC于D，过D作的垂线交于G．连接并延长交于M． (1)求证：
；(2)连接
．求证：．(3)作射线
，在上是否存在一点K，使的和有最小值，如果有请求出这个最小值，并求出此时的长；如果不存在，请说明理由．
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6 . 定义：向量
，则
．已知
，
，
．
(1)当
时，求函数
的解析式；
(2)当
时，求函数的最小值(用含
的代数式表示)，并求最小值的范围；
(3)在（1）的条件下，将（1）中的函数图象向右移2个单位，再上移一个单位，得函数
的图象，记
，直线
过点
且与函数
的图象恰有三个交点，求直线的解析式．
，则．已知，，．(1)当
时，求函数的解析式；(2)当
时，求函数的最小值(用含的代数式表示)，并求最小值的范围；(3)在（1）的条件下，将（1）中的函数图象向右移2个单位，再上移一个单位，得函数
的图象，记，直线过点且与函数的图象恰有三个交点，求直线的解析式．
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名校
7 . 在平面直角坐标系中，已知点A在函数y＝
x的图象上，点B(4，0)，且BA⊥OA，P(0，10)．
（1）如图1，把
ABO沿直线y＝x方向平移，得到CDE，连接PC、PE．当PC+PE的值最小时，在x轴上存在Q点使QR+DR的值最小，求出QR+DR的最小值，并求出此时点Q的坐标．
（2）如图2，把ABO绕P点旋转α（0°＜α＜90°），设旋转后的三角形为
，记直线
与直线y＝x相交于点M，直线与x轴相交于N，当MNO是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点M的坐标．
x的图象上，点B(4，0)，且BA⊥OA，P(0，10)．（1）如图1，把
ABO沿直线y＝x方向平移，得到CDE，连接PC、PE．当PC+PE的值最小时，在x轴上存在Q点使QR+DR的值最小，求出QR+DR的最小值，并求出此时点Q的坐标．（2）如图2，把
ABO绕P点旋转α（0°＜α＜90°），设旋转后的三角形为，记直线与直线y＝x相交于点M，直线与x轴相交于N，当MNO是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点M的坐标．
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