1 . 已知集合具有性质：对任意，（），与至少一个属于.
(1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；
(2)证明：；
(3)具有性质，当时，求集合.

2 . 非空向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称为“类集”，现有四个命题：
①若为“类集”，则集合也是“类集”；
②若、都是“类集”，则也是“类集”；
③若、都是“类集”，且至少有两个公共元素，则也是“类集”；
④若、都是“类集”，则集合也是“类集”；
其中所有正确的命题是（       ）

A．①③

B．①④

C．①②④

D．①③④

4 . 已知含有限个元素的集合是正整数集的子集，且中至少含有两个元素.若是由中的任意两个元素之和构成的集合，则称集合是集合的衍生集.
(1)当时，写出集合的衍生集；
(2)若是由4个正整数构成的集合，求其衍生集的元素个数的最小值；
(3)判断是否存在5个正整数构成的集合，使其衍生集，并说明理由.

5 . 设集合中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意，若，都有；
②对于任意，若，则．
(1)分别对和，求出对应的；
(2)如果当S中恰有三个元素时，中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1；
(3)如果S恰有4个元素，求的元素个数．

6 . 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，.其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和.若对于任意的，总有，则称集合具有性质.
(1)若，写出相应的集合和，求对应的和的值.
(2)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和.
(3)对任何具有性质的集合，证明.

7 . 已知U是非空数集，若非空集合A，B满足以下三个条件，则称为集合U的一种真分拆，并规定与为集合U的同一种真分拆．
①；
②；
③A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．
则集合的真分拆的种数是（       ）

A．4

B．8

C．10

D．15

8 . 已知集合．对于，，定义；；与之间的距离为．
(1)当时，设，，求；
(2)（ⅰ）求证：若，，，且，使，则；
（ⅱ）设，，，且．是否一定，使？说明理由；
(3)记．若，，且，求的最大值．

9 . 设集合M为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称M为封闭集．有以下结论：
①为封闭集；
②若M为封闭集，则一定有；
③存在集合，A不为封闭集；
④若M为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集．
其中所有正确结论的序号是_________________．