1 . 设集合中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意，若，都有；
②对于任意，若，则．
(1)分别对和，求出对应的；
(2)如果当S中恰有三个元素时，中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1；
(3)如果S恰有4个元素，求的元素个数．

2 . 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，.其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和.若对于任意的，总有，则称集合具有性质.
(1)若，写出相应的集合和，求对应的和的值.
(2)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和.
(3)对任何具有性质的集合，证明.

5 . 对正整数，记，.
(1)用列举法表示集合；
(2)求集合中元素的个数；
(3)若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.已知集合能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值.

7 . 已知集合，对于，定义A与B之间的距离：.若，则称A，B相关，记为.若中不同的元素，满足，则称为中的一个闭环.
(1)请直接写出中的一个闭环；
(2)若为中的一个闭环，证明：m为偶数；
(3)若为中的一个闭环，求m的最大值.

8 . 已知集合.对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）.
(1)若，求；
(2)若满足，且，求的所有可能结果；
(3)是否存在正整数n使得对任意都有?若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由.

10 . 已知（），对于，，，定义A与之间的距离为.
(1)若，，写出一组，的值，使得；
(2)证明：对于任意的，，，；
(3)若，若，求所有之和.