1 . 已知集合
.对集合
中的任意元素
，定义
，当正整数
时，定义
（约定
）.
(1)若
，
，求
和
；
(2)若满足
且
，求
的所有可能结果.
.对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）.(1)若
，，求和；(2)若
满足且，求的所有可能结果.
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名校
2 . 对于正整数集合
，如果去掉其中任意一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合
与
是否为“和谐集”（不必写过程）；
(2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.(1)判断集合
与是否为“和谐集”（不必写过程）；(2)求证：若集合
是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；(3)若集合
是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
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2022-06-13更新
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1443次组卷
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10卷引用：北京市第二中学2021-2022学年高一6月阶段落实测试数学试题
北京市第二中学2021-2022学年高一6月阶段落实测试数学试题北京理工大学附属中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题北京市顺义区第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题第1章 集合 单元综合测试卷第一章 集合（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（苏教版2019必修第一册）第一章 集合（A卷·基础提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（苏教版2019必修第一册）第一章 集合与常用逻辑用语（A卷·基础提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）江苏省扬州市高邮市第一中学2022-2023学年高一上学期期初数学试题（已下线）第02讲 集合的运算（7大考点13种解题方法）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（已下线）第1章 集合与常用逻辑用语-【高中数学课堂】单元测试能力卷（人教B版2019）
3 . 对于任意的
，记集合
，
，若集合A满足下列条件：①
；②
，且
，不存在
，使
，则称A具有性质Ω.如当
时，
，
，
，且，不存在，使，所以
具有性质Ω.
(1)写出集合
，
中的元素个数，并判断是否具有性质Ω.
(2)证明：不存在A､B具有性质Ω，且
，使
.
(3)若存在A､B具有性质Ω，且，使
，求n的最大值.
，记集合，，若集合A满足下列条件：①；②，且，不存在，使，则称A具有性质Ω.如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质Ω.(1)写出集合
，中的元素个数，并判断是否具有性质Ω.(2)证明：不存在A､B具有性质Ω，且
，使.(3)若存在A､B具有性质Ω，且
，使，求n的最大值.
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2022-04-09更新
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757次组卷
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5卷引用：北京市清华大学附属中学朝阳学校2021-2022学年高一3月质量检测数学试题
北京市清华大学附属中学朝阳学校2021-2022学年高一3月质量检测数学试题重庆市南开中学高2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题（已下线）1.3 交集、并集（2）（已下线）第02讲 集合的运算（7大考点13种解题方法）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（已下线）高一上学期期中考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列
名校
4 . 已知集合
(
且
），
，且
．若对任意
（
），当
时，存在
(
)，使得
，则称是
的
元完美子集．
(1)判断下列集合是否是
的3元完美子集，并说明理由；
①
； ②
．
(2)若
是
的3元完美子集，求
的最小值；
(3)若是（且）的元完美子集，求证：
，并指出等号成立的条件．
(且），，且．若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集．(1)判断下列集合是否是
的3元完美子集，并说明理由；①
； ②．(2)若
是的3元完美子集，求的最小值；(3)若
是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件．
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2022-03-24更新
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1181次组卷
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6卷引用：北京市丰台区2022届高三一模数学试题
5 . 已知
（），对于
，
，
，定义A与
之间的距离为
.
(1)若
，
，写出一组，
的值，使得
；
(2)证明：对于任意的，，
，
；
(3)若
，若
，求所有
之和.
（），对于，，，定义A与之间的距离为.(1)若
，，写出一组，的值，使得；(2)证明：对于任意的
，，，；(3)若
，若，求所有之和.
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22-23高一上·北京·期末
解题方法
6 . 已知集合A为非空数集，定义
，
．
(1)若集合
，直接写出集合
及
；
(2)若集合
，
，且
，求证：
；
(3)若集合
，且
，求A集合中元素个数的最大值．
，．(1)若集合
，直接写出集合及；(2)若集合
，，且，求证：；(3)若集合
，且，求A集合中元素个数的最大值．
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7 . 设集合
．若
，把
中所有元素之和称为的“容量”（规定空集的容量为0）．若的容量为奇（偶）数，则称为
的奇（偶）子集
(1)当
时，列出的所有奇子集和偶子集
(2)求证：的奇子集和偶子集个数相等
(3)当时，求的所有奇子集的容量之和
．若，把中所有元素之和称为的“容量”（规定空集的容量为0）．若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集(1)当
时，列出的所有奇子集和偶子集(2)求证：
的奇子集和偶子集个数相等(3)当
时，求的所有奇子集的容量之和
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名校
解题方法
8 . 已知集合
，对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素
，
，都有
，则称S具有性质P.
(1)当
时，试判断集合
和
是否具有性质P？并说明理由.
(2)当
时，若集合S具有性质P.
①集合
是否一定具有性质P？并说明理由；
②求集合S中元素个数的最大值.
，对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素，，都有，则称S具有性质P.(1)当
时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由.(2)当
时，若集合S具有性质P.①集合
是否一定具有性质P？并说明理由；②求集合S中元素个数的最大值.
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9 . 设正整数，集合
，对于集合中的任意元素
和
，及实数
，定义：当且仅当
时
；
；
.
若的子集
满足：当且仅当
时，
，则称为的完美子集.
(1)当时，已知集合
，
.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
(2)当时，已知集合
.若不是的完美子集，求的值；
(3)已知集合
，其中
.若
对任意
都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.
，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.若
的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集.(1)当
时，已知集合，.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；(2)当
时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；(3)已知集合
，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.
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2021-11-04更新
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771次组卷
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7卷引用：北京市海淀区2022届高三上学期期中练习数学试题
北京市海淀区2022届高三上学期期中练习数学试题北京市顺义区杨镇第一中学2023届高三上学期10月月考数学试题北京市汇文中学2023届高三上学期期中考试数学试题北京市东直门中学2022-02023学年高一下学期期中考试数学试题北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（已下线）高一上学期期中考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列（已下线）单元高难问题01集合中的新定义问题-【倍速学习法】（人教A版2019必修第一册）
10 . 已知集合
.对于
，
，定义
，定义与之间的距离为
.
（1）设
，
，
，直接写出
，
，
；
（2）
，判断
与
的大小关系，并给出证明；
（3）证明：，，
，
三个数中至少有一个是偶数.
.对于，，定义，定义与之间的距离为.（1）设
，，，直接写出，，；（2）
，判断 与 的大小关系，并给出证明；（3）证明：
，，，三个数中至少有一个是偶数.
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