2024高三·全国·专题练习
解题方法
1 . 设正实数
满足
，不等式
恒成立，求
的最大值．
满足，不等式恒成立，求的最大值．
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2 . 小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片
其中
的周长为
他把
沿AC向
折叠，AB折过去后交DC于点
他在思索一个问题：如果改变AB的长度
周长保持不变
，
的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由?
其中的周长为他把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点他在思索一个问题：如果改变AB的长度周长保持不变，的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由?
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2023·全国·模拟预测
3 . 已知
，且
．
(1)求证：
；
(2)求
的最大值．
，且．(1)求证：
；(2)求
的最大值．
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4 . 已知
克糖水中含有
克糖（
），再添加克糖（
）（假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并加以证明；
(2)已知
，小明同学判断添加克糖前后的两杯糖水中的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于
，判断是否正确，并说明理由.（
）
克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式，并加以证明；
(2)已知
，小明同学判断添加克糖前后的两杯糖水中的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于，判断是否正确，并说明理由.（）
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2023·全国·模拟预测
5 . 已知x，y，
．
(1)若
，证明：
；
(2)若，证明．
．(1)若
，证明：；(2)若
，证明．
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6 . 如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是AD和BC边上的点．沿EF折叠使C与线段AB上的M点重合（M不在端点A，B处），折叠后CD与AD交于点G．
(1)证明：
的周长为定值．
(2)求的面积S的最大值．
(1)证明：
的周长为定值．(2)求
的面积S的最大值．
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名校
解题方法
7 . 问题：正实数a，b满足
，求
的最小值.其中一种解法是：
，当且仅当
且时，即
且
时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x，y满足，求
的最小值；
(2)若实数a，b，x，y满足
，求证：
；
(3)求代数式
的最小值，并求出使得M最小的m的值.
，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：(1)若正实数x，y满足
，求的最小值；(2)若实数a，b，x，y满足
，求证：；(3)求代数式
的最小值，并求出使得M最小的m的值.
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8 . 高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义
且
，将
称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若
，
，求和
；
(2)试证明：“
”是“
”的充要条件；
(3)若集合
是有限集，将集合的元素个数记为
.已知
，且存在实数满足
对任意
恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时
和
满足的关系式及应满足的条件.
且，将称为“A与B的笛卡尔积”(1)若
，，求和；(2)试证明：“
”是“”的充要条件；(3)若集合
是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.
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2023高一·上海·专题练习
解题方法
9 . （1）已知
，且
，求
的最小值；
（2）已知正实数满足
，求
的最小值；
（3）已知实数满足
，求的最大值.
，且，求的最小值；（2）已知正实数
满足，求的最小值；（3）已知实数
满足，求的最大值.
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10 . （1）已知
求函数
最小值，并求出最小值时
的值；
（2）问题：正数
满足，求的最小值.其中一种解法是：
，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数
满足，试比较
和
的大小，并指明等号成立的条件.
求函数最小值，并求出最小值时的值；（2）问题：正数
满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件.
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