1 . 对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．
（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

2 . 设函数，函数，，其中为常数，且，令函数为函数和的积函数.
（1）求函数的表达式，并求其定义域；
（2）当时，求函数的值域
（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰好为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由.

3 . 定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x₁，x₂∈R，都有f（），则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax²+x（a∈R，a≠0）
（1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域；
（2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并说明理由；
（3）如果函数f（x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

4 . 已知向量，，其中为坐标原点.
（1）若，求向量与的夹角；
（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围.

5 . 为了配合今年上海迪斯尼乐园工作，某单位设计了统计人数的数学模型，以表示第个时刻进入园区的人数；以表示第个时刻离开园区的人数.设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即；9点30分作为第2个计算单位，即；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）.
（1）试计算当天14点至15点这1小时内进入园区的游客人数、离开园区的游客人数各为多少？
（2）从13点45分（即）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由.

6 . 定义符号函数，已知函数.
（1）已知，求实数的取值集合；
（2）当时，在区间上有唯一零点，求的取值集合；
（3）已知在上的最小值为，求正实数的取值集合；

7 . 已知函数，的图像为曲线，两端点、，点为线段上一点，其中，，，点、均在曲线上，且点的横坐标等于，点的纵坐标为.
（1）设，，，求点、的坐标；
（2）设，，求的面积的最大值及相应的值；
（3）设，，求证：点始终在点的上方.

8 . 设，，其中m是不等于零的常数.
（1）时，直接写出的值域；
（2）求的单调递增区间；
（3）已知函数，，定义：，，，，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.例如：，，则，，，.当时，恒成立，求n的取值范围.

9 . 已知函数.
（1）若为偶函数，求实数的值；
（2）当时，求函数的零点；
（3）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.

10 . 已知函数满足,且,分别是定义在上的偶函数和奇函数．
（1）求函数的反函数;
（2）已知,若函数在上满足,求实数a的取值范围;
（3）若对于任意不等式恒成立,求实数的取值范围.