1 . 如图所示，在底半径为、高为（为定值，且）的圆锥内部内接一个底半径为、高为的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决. 甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式（图甲），乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式（图乙）.

(1)设、分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径为自变量分别表示、；
(2)试分别求、的最大值、，并比较、的大小.

2 . 1.福建省平潭综合实验区澳前68小镇的猴研岛，是祖国大陆距宝岛台湾最近的地方，直线距离仅68海里.为了更好地完善硬件设施提升小镇旅游面貌，68小镇管理处在水泥路边安装路灯，路灯的设计如图所示，为地面，､为路灯灯杆，，，在处安装路灯，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩的照明张角，已知，，

(1)若，求此路灯在路面OM上的照明宽度；
(2)为了控制的路灯照明效果，令，求此路灯在路面OM上的照明宽度的取值范围.

3 . 茶起源于中国，盛行于世界，是承载历史文化的中国名片．武夷山，素有茶叶种类王国之称，茶文化历史久远，茶产业生机勃勃．2021年3月22日下午，习近平总书记来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园考察．总书记强调，过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业，今后要成为乡村振兴的支柱产业．3月25日，人民论坛网调研组一行循着习总书记此次来闽考察的足迹，走访了福建武夷山．调研组了解到某茶叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品，十分的畅销．据了解，该企业年固定成本为50万元，每生产百件产品需增加投入7万元．在2021年该企业年内生产的产品为x百件，并能全部销售完．据统计，每百件产品的销售收入为万元，且满足．
（1）写出该企业今年利润关于该产品年销售量x百件的函数关系式；
（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大？最大利润多少？

4 . ①；②．若直线为__________（选择①、②中的一个）的切线．
（1）求切点坐标；
（2）求实数a的值．
注：如果条件①和条件②都解答，按第一个解答计分．

5 . 有四个小镇恰好位于边长为10千米的菱形的四个顶点处．政府拟建公路连通四个小镇，若每千米公路的建设成本是10万元，预算为280万元，原计划按照菱形对角线修路．

（1）若预算刚好花完，求菱形的面积；
（2）若为正方形，施工队发现按照原计划修路会预算不足，于是采取如下新方案：按如图实线所示修路，其中，问：新方案能否在预算内完成修路目标？求出新方案的最低花费．

6 . 已知椭圆的左､右焦点分别为点在上，的周长为，面积为
（1）求的方程.
（2）设的左､右顶点分别为，过点的直线与交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则__________.(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答).
①求直线和交点的轨迹方程；
②是否存在实常数，使得恒成立；
③过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过定点.