1 . 证明
，并利用这一结果化简：
(1)
；
(2)
．
，并利用这一结果化简：(1)
；(2)
．
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2021-12-06更新
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1151次组卷
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14卷引用：第02讲 排列与组合（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学下学期考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）
（已下线）第02讲 排列与组合（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学下学期考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）（已下线）第04讲 排列与组合-【寒假自学课】2022年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）7.2 排列（备作业)-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（苏教版2019选择性必修第二册）沪教版(2020) 选修第二册 经典学案 第6章 6.2 排列（已下线）第三章 排列、组合与二项式定理（A卷·知识通关练）（1）（已下线）6.2.1-6.2.2 排列 排列数（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第2讲 排列及排列数5种题型总结（2）（已下线）7.2 排列（十大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）7.4二项式定理苏教版(2019) 选修第二册 名师导学 第七章 本章复习（已下线）3.1.2 排列与排列数（1）苏教版（2019）选择性必修第二册课本习题第7章复习题（已下线）专题07 排列组合（1）（已下线）3.1.2 排列与排列数（第1课时）（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第二册）
20-21高二·江苏·课后作业
2 . 用组合数公式证明：
(1)
；
(2)
．
(1)
；(2)
．
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2021-12-06更新
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652次组卷
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6卷引用：排列与组合
（已下线）排列与组合（已下线）第10讲 排列与组合-【寒假自学课】2022年高二数学寒假精品课（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）7.3组合苏教版(2019) 选修第二册 名师导学 第七章 习题7.3（已下线）6.2.3-6.2.4 组合 组合数（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）苏教版（2019）选择性必修第二册课本习题 习题7.3
3 . 求证：
（
，
，且
）．
（，，且）．
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2021-09-22更新
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712次组卷
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8卷引用：排列与组合
（已下线）排列与组合沪教版(2020) 选修第二册 经典学案 第6章 6.2 排列（已下线）6.2.1-6.2.2 排列 排列数（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题6.5 计数原理全章十大基础题型归纳（基础篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）人教B版(2019) 选修第二册 突围者 第三章 第一节 课时2 排列与排列数北师大版(2019) 选修第一册 突围者 第五章 第二节 排列（已下线）3.1.2 排列与排列数（第1课时）（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第二册）（已下线）6.2.1&6.2.2 排列、排列数（6大题型）精练-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第三册）
4 . 考查等式：
(*)，其中
，
且
.某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有件，其中
件是次品，其余为正品.现从中随机取出
件产品，记事件
{取到的件产品中恰有
件次品}，则
，
，1，2，…，.显然
，
，…，
为互斥事件，且
(必然事件)，因此
，所以，即等式(*)成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断：①等式(*)成立，②等式(*)不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出所有正确判断的序号___________ .
(*)，其中，且.某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有件，其中件是次品，其余为正品.现从中随机取出件产品，记事件{取到的件产品中恰有件次品}，则，，1，2，…，.显然，，…，为互斥事件，且(必然事件)，因此，所以，即等式(*)成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断：①等式(*)成立，②等式(*)不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出所有正确判断的序号
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5 . 在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为
.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为
.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
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2021-06-17更新
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18950次组卷
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35卷引用：专题11.6 离散型随机变量的均值与方差 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）
（已下线）专题11.6 离散型随机变量的均值与方差 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）（已下线）考向48 离散型随机变量的分布列、均值与方差（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）（已下线）专题14 计数原理、随机变量的数字特征（练）--第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）》（已下线）押新高考第20题 统计概率-备战2022年高考数学临考题号押题（新高考专用）（已下线）查补易混易错点07 计数原理与概率统计-【查漏补缺】2022年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）（已下线）2022年高考考前20天终极冲刺攻略（三）【数学】（新高考地区专用）（6月3日）（已下线）考向41 离散型随机变量的分布列与数字特征（六大经典题型）-2（已下线）考向42 四大分布：两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布（十大经典题型）-3（已下线）考向42离散型随机变量的期望与方差（重点）-2（已下线）2021年新高考北京数学高考真题变式题16-21题人教A版(2019) 选修第三册 过关斩将 名优卷 第七章 章末综合测试卷（已下线）2022年高考考前20天终极冲刺攻略（四）【理科数学】（6月3日）重庆市第八中学校2021-2022学年高二下学期期末复习数学试题广东省潮州市2021-2022学年高二下学期期末数学试题广东省深圳市福田区福田中学2023届高三上学期第一次月考数学试题（已下线）专题11-2 概率与分布列大题归类-2（已下线）重组卷05（已下线）第10讲 期望方差的实际应用-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）重组卷04（已下线）专题9-1 概率与统计及分布列归类（理）（讲+练）-1（已下线）第7章 概率初步（续）（基础、常考）分类专项训练-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）拓展四：近五年随机变量及其分布列高考真题分类汇编 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）北京十年真题专题11计数原理与概率统计（已下线）第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征（练习）（已下线）考点12 离散型随机变量的期望和方差 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）专题11 统计与概率（分层练）（已下线）专题25 概率统计解答题（理科）-1专题10计数原理与概率统计（已下线）五年北京专题07计数原理与概率统计2021年北京市高考数学试题北京市第八中学2022届高三10月月考练习数学试题福建省福州市第四中学2022届高三上学期第二次月考数学试题山东省德州市第一中学2022-2023学年高二上学期1月期末数学试题（已下线）第7章 随机变量及其分布（单元测试）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）单元测试B卷——第七章 随机变量及其分布
6 . 求证：
.
.
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2021-02-08更新
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1101次组卷
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7卷引用：排列与组合
（已下线）排列与组合（已下线）6.2.3组合+6.2.4组合数 第一练 练好课本试题人教A版(2019) 选择性必修第三册 新高考名师导学 第六章 6.2 排列与组合（已下线）6.2 排列与组合（已下线）7.3组合人教A版（2019）选择性必修第三册课本习题6.2 排列与组合（已下线）6.2.3组合-6.2.4组合数——课堂例题
7 . 某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为
，
，
三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：
对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为
元､元､
元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.
(1)若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的
，证明：
.
(2)现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，
，
，单位负责职工保费的
，职工个人负责
，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.
，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：| 工种类别 | | | |
| 赔付概率 |  |  |  |
对于
，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.(1)若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的
，证明：.(2)现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，
，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.
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2021-11-05更新
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1087次组卷
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6卷引用：专题11.6 离散型随机变量的均值与方差 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）
（已下线）专题11.6 离散型随机变量的均值与方差 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）（已下线）专题42 概率与统计的综合应用-1（已下线）重难点突破01 概率与统计的综合应用（十八大题型）-1（已下线）第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布（十一大题型）（讲义）-1广东省湛江市2022届高三上学期调研测试（10月）数学试题湖南省150多所名校2021-2022学年高三上学期10月联考数学试题
20-21高二·全国·课后作业
8 . 利用组合数公式证明
．
．
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2021-11-04更新
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999次组卷
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7卷引用：专题11.2 排列与组合 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）
（已下线）专题11.2 排列与组合 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）（已下线）专题46 排列与组合-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型（已下线）专题43 排列组合-1（已下线）第三章 排列、组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.3 组合与组合数（已下线）6.2.3组合+6.2.4组合数 (精讲）（1）人教B版（2019）选择性必修第二册课本习题3.1.3 组合与组合数（已下线）6.2.3组合-6.2.4组合数——课堂例题
解题方法
9 . 现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为
．
（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含
的多项式表示）；
（2）记该组动物需要注射次数
的数学期望为
，求证：
．
．（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含
的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数
的数学期望为，求证：．
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2021-06-04更新
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3694次组卷
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10卷引用：第51讲 概率与统计综合问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练
（已下线）第51讲 概率与统计综合问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练（已下线）专题10-2 概率压轴大题(理）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（已下线）第07讲 二项分布与超几何分布及正态分布(核心考点讲与练)（2）（已下线）数学-2022届高三下学期开学摸底考试卷B（理科）（新课标专用）湖南省雅礼十六校2022-2023学年高三上学期第一次联考数学试题（已下线）专题11-2 概率与分布列大题归类-2（已下线）模块十 计数原理与统计概率-2（已下线）专题26 概率综合问题（分布列）（解答题）（理科）-1（已下线）专题9-1 概率与统计及分布列归类（理）（讲+练）-2江苏省泰州市2021届高三下学期考前练笔数学试题
10 . 规定
，其中
，m为正整数，且
，这是排列数
（n，m是正整数，且
）的一种推广.
（1）求
的值.
（2）排列数的两个性质①
，②
（n，m是正整数，且）是否都能推广到
（，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，请说明理由.
，其中，m为正整数，且，这是排列数（n，m是正整数，且）的一种推广.（1）求
的值.（2）排列数的两个性质①
，②（n，m是正整数，且）是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，请说明理由.
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2021-10-25更新
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805次组卷
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8卷引用：排列与组合
（已下线）排列与组合（已下线）第六章 计数原理（能力提升）B卷-2021-2022学年高二数学课后培优练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）7.2 排列（备作业)-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（苏教版2019选择性必修第二册）沪教版(2020) 选修第二册 经典学案 第6章 6.2 排列人教B版(2019) 选修第二册 名师精选 第二单元 排列与排列数、组合与组合数 B卷沪教版(2020) 选修第二册 堂堂清 第6章 单元复习六第五章 计数原理 综合培优卷-2021-2022学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册5.2排列检测题B卷（综合篇）-2021-2022学年高二上学期北师大版（2019）数学选择性必修第一册
