1 . （1）设
、
，
，求证：
；
（2）请利用二项式定理证明：
.
、，，求证：；（2）请利用二项式定理证明：
.
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2020-07-16更新
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742次组卷
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8卷引用：考向38 二项式定理全归纳（十五大经典题型）-3
（已下线）考向38 二项式定理全归纳（十五大经典题型）-3（已下线）对点练69 二项式定理-2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练（已下线）专题2.6 排列组合和二项式定理【章节复习专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）（已下线）拓展二：二项式定理15种常见考法归类 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）高二下期末真题精选（易错60题45个考点专练）（高中全部内容）（原卷版）（已下线）第03讲 二项式定理（十五大题型）（讲义）-3上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末数学试题上海市复旦大学附属中学青浦分校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题
名校
解题方法
2 . 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为
．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记
为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为
．
(1)证明：
；
(2)某公司意向投资该产品，若
，每次试验的成本为
元，若试验成功则获利
元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．
．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为．(1)证明：
；(2)某公司意向投资该产品，若
，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．
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2022-10-14更新
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2837次组卷
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14卷引用：专题42 概率与统计的综合应用-1
（已下线）专题42 概率与统计的综合应用-1广东省广州市越秀区2023届高三上学期10月阶段测试数学试题（已下线）第35节 概率（已下线）第10讲 期望方差的实际应用-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）考点18 决策的选择问题 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）新题型01 新高考新结构二十一大考点汇总-3（已下线）第4讲：概率与数列的结合问题【练】（已下线）第3讲：决策的选择问题【练】（已下线）（新高考新结构）2024年高考数学模拟卷（三）（已下线）专题08 平面向量、概率、统计、计数原理（已下线）7.3.1 离散型随机变量的均值 (精讲）（1）陕西省西安市第三中学2022-2023学年高二下学期第二次月测评理科数学试题河北省部分学校2024届高三上学期摸底考试数学试题（已下线）7.3 离散型随机变量的数字特征（6大题型）精练-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第三册）
名校
解题方法
3 . 一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第
站、第
站、第
站、
、第
站，共
站，设棋子跳到第
站的概率为
，一枚棋子开始在第站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第
站（获胜）或第站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数、、
、
、
、
）．
(1)求
、
、
，并根据棋子跳到第站的情况，试用
和
表示；
(2)求证：
为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率．
站、第站、第站、、第站，共站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第站（获胜）或第站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数、、、、、）．(1)求
、、，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示；(2)求证：
为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．
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2023-05-23更新
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592次组卷
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9卷引用：类型四 概率与统计的创新问题-【题型突破】备战2022年高考数学二轮基础题型+重难题型突破（新高考专用）
（已下线）类型四 概率与统计的创新问题-【题型突破】备战2022年高考数学二轮基础题型+重难题型突破（新高考专用）（已下线）专题05 等差数列和等比数列的证明问题（第二篇）-备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖（已下线）专题17 概率与统计的创新题型（已下线）第三篇 数列、排列与组合 专题1 建立递推关系求通项公式 微点2 建立递推关系求通项公式综合训练河南省名校联盟2019-2020学年高三11月教学质量检测数学（理）试题2020届山西省大同市第一中学高三2月模拟（一）数学（理）试题2020届华大新高考联盟高三11月教学质量测评理科数学试题陕西师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期期中理科数学试题（已下线）模块二 专题5 概率中的创新问题
20-21高二·全国·课后作业
4 . 证明：
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2023-05-19更新
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217次组卷
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10卷引用：第10讲 排列与组合-【寒假自学课】2022年高二数学寒假精品课（苏教版2019选择性必修第二册）
（已下线）第10讲 排列与组合-【寒假自学课】2022年高二数学寒假精品课（苏教版2019选择性必修第二册）沪教版(2020) 选修第二册 经典学案 第6章 6.3 组合（已下线）7.3 组合（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）专题 16 组合（重点突围）（1）（已下线）第六课时 课中 6.2.3-6.2.4 第2课时 组合数公式（已下线）7.3组合苏教版(2019) 选修第二册 名师导学 第七章 7.3 组合（已下线）6.2.3 组合~6.2.4组合数（1）北师大版(2019) 选修第一册 数学奇书 第五章 计数原理 §3 组合问题 3.1 组合+ 3.2 组合数及其性质6.2.4组合数练习
解题方法
5 . 某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了名男生和名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（
年）到高中三年级（
年）每年的视力平均值，如图所示．
(1)从
年到年中随机选取年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；
(2)从年到年这
年中随机选取年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求的分布列和数学期望：
(3)由图判断，这
名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）
名男生和名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（年）到高中三年级（年）每年的视力平均值，如图所示．(1)从
年到年中随机选取年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；(2)从
年到年这年中随机选取年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求的分布列和数学期望：(3)由图判断，这
名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）
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解题方法
6 . 为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下：
天数x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
繁殖个数y | 6 | 12 | 25 | 49 | 95 | 190 |
(1)在图中作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，并由散点图判断
（a，b为常数）与
（
，
为常数，且
，
）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)对于非线性回归方程
（，为常数，且，），令
，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值．
|
|
|
|
|
|
3.50 | 62.83 | 3.53 | 17.50 | 596.57 | 12.09 |
①证明：“对于，令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有
，β，α为常数）”；
②根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
．
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2023-03-21更新
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1183次组卷
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12卷引用：第04讲 第九章 统计与成对数据的统计分析（基础拿分卷）
（已下线）第04讲 第九章 统计与成对数据的统计分析（基础拿分卷）（已下线）专题11-1 直方图、回归方程（线性与非线性）-1（已下线）新高考卷05（已下线）成对数据的统计分析章末测试卷（二）-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用（题型专训）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第八章 成对数据的统计分析（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第三册）贵州省贵阳市五校2023届高三上学期联合考试（三）数学（文）试题贵州省贵阳市五校2023届高三上学期联合考试（三）数学（理）试题（已下线）2022-2023学年高三新高考数学押题卷（四）（已下线）9.1.2线性回归方程（1）（已下线）2023年高三数学（理）押题卷一（已下线）第04讲 拓展一：数学建模 建立统计模型进行预测（非线性回归模型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）
名校
解题方法
7 . 我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为
的
个球的口袋中取出
个球
，共有
种取法.在种取法中，不取
号球有
种取法；取号球有
种取法.所以
.试运用此方法，写出如下等式的结果：
___________ .
的个球的口袋中取出个球，共有种取法.在种取法中，不取号球有种取法；取号球有种取法.所以.试运用此方法，写出如下等式的结果：
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2022-10-17更新
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1616次组卷
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9卷引用：专题20 计数原理(讲义)-1
（已下线）专题20 计数原理(讲义)-1浙江省强基联盟2022-2023学年高二实验班上学期10月联考数学试题辽宁省丹东市五校2022-2023学年高三上学期联考数学试题（已下线）7.3 组合（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）专题18 排列组合与二项式定理（已下线）专题01 两个计数原理与排列组合（7类压轴题型）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）6.2.3-6.2.4 组合 组合数（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）辽宁省沈阳市东北育才学校2023届高三高考适应性测试（二）数学试题江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二上学期期末质量调研数学试题
8 . 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
．设
，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组
的个数是（ ）
．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（ ）| A．28 | B．24 | C．20 | D．16 |
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2022-06-13更新
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1739次组卷
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7卷引用：专题23 拉格朗日
（已下线）专题23 拉格朗日2022届普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试试题（已下线）专题07 计数原理（理科）-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用）（已下线）考向39排列与组合（重点）4.2 排列（同步练习提高篇）（已下线）第02讲 排列、组合（十九大题型）（讲义）-2（已下线）专题19 排列组合与二项式定理常考小题（20大题型）（练习）
解题方法
9 . 已知函数
，其中
．
(1)若
，
，求
的最大值；
(2)若
，求证：
．
，其中．(1)若
，，求的最大值；(2)若
，求证：．
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10 . 从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记
表示事件“第
次摸到红球”，
．
(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；
(2)记
表示
，
，
同时发生的概率，
表示已知与都发生时发生的概率．
①证明：
；
②求
．
表示事件“第次摸到红球”，．(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；
(2)记
表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率．①证明：
；②求
．
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2022-10-15更新
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1408次组卷
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5卷引用：第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (高频考点，精练）
（已下线）第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (高频考点，精练）山东省潍坊市（安丘、诸城、高密）三县市2022-2023学年高三10月联考数学试题（已下线）第06讲 条件概率和全概率公式及应用3种常考题型-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第三册）.rar（已下线）7.1.1条件概率（精练）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）2023年高三数学押题密卷一
