名校
1 . 已知
，函数
，其中
…为自然对数的底数.
（1）证明：函数
在
上有唯一零点；
（2）记
为函数在上的零点，证明：
；
，函数，其中…为自然对数的底数.（1）证明：函数
在上有唯一零点；（2）记
为函数在上的零点，证明：；
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2021-10-12更新
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550次组卷
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3卷引用：湖南省永州市第一中学2021-2022学年高三上学期第二次月考数学试题
2007高三·天津·竞赛
名校
2 . 在平面直角坐标系中定义点
之间的交通距离为
.
若
到点
的交通距离相等，其中，实数
满足
，则所有满足条件的点
的轨迹的长之和为____________ .
之间的交通距离为.若
到点的交通距离相等，其中，实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长之和为
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2018-12-23更新
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451次组卷
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5卷引用：2008年湖南省高中数学竞赛试题
2008年湖南省高中数学竞赛试题（已下线）2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题数学奥林匹克高中训练题_177上海市实验学校2018届高三上学期第四次月考数学试题2019年全国高中数学联赛甘肃省预赛
2002高三·湖南·竞赛
名校
3 . 设关于 x 的一元二次方程 
的两个根为 α、β（α < β）.
（1））若 x1、x2 为区间[ α， β] 上的两个不同的点，求证：
；
（2）设
，
在区间[ α， β] 上的最大值和最小值分别为
和
， 
.求
的最小值.
的两个根为 α、β（α < β）.（1））若 x1、x2 为区间[ α， β] 上的两个不同的点，求证：
；（2）设
，在区间[ α， β] 上的最大值和最小值分别为和， .求的最小值.
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2018-12-15更新
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374次组卷
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5卷引用：2002年湖南省高中数学奥林匹克
名校
4 . 对于函数，若
，则称
为的“不动点”；若
，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为
和
，即
，
.
（1）求证：
；
（2）若
，且
，求实数
的取值范围.
，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，.（1）求证：
；（2）若
，且，求实数的取值范围.
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2018-12-15更新
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1377次组卷
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7卷引用：2004年湖南省高中数学竞赛试题
2004年湖南省高中数学竞赛试题湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高一上学期适应性调查考试数学试题湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高一上学期第一次适应性调查数学试题江西省景德镇一中2020-2021学年高一（2班）上学期期末考试数学试题（已下线）专题1.1—集合—2022届高三数学一轮复习精讲精练（已下线）第1章集合与常用逻辑用语专练1 集合-2022届高三数学一轮复习（已下线）模块二 大招16 不动点与稳定点
5 . 设函数
的定义域为
，当
时, 
,且对任意的实数
有
成立.数列
满足
且
.
(1)求
的值;
(2)若不等式
对一切
均成立，求
的最大值.
的定义域为，当时, ,且对任意的实数有成立.数列满足且.(1)求
的值;(2)若不等式
对一切均成立，求的最大值.
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6 . 设
均取正实数,且
.求三元函数
的最小值,并给出证明.
均取正实数,且.求三元函数的最小值,并给出证明.
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2013高三·湖南·竞赛
7 . 已知函数
，且对任意的
均有
.
（1）求
的取值范围；
（2）若
，证明：
.
，且对任意的均有.（1）求
的取值范围；（2）若
，证明：.
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8 . 若函数 和
R上有定义，且
，
,则
__________ （用数字作答）.
和 R上有定义，且，,则
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2014高三·湖南·竞赛
9 . 已知
则
______ .
则
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10 . 在正方形
中，
为边
上一点（点与顶点不重合）. 延长
，与
的延长线交于点
. 设
、
、
的内切圆半径分别为
、
、
.
（1）证明：
，并指出点在什么位置时，等号成立；
（2）若
，证明：
.
中，为边上一点（点与顶点不重合）. 延长，与的延长线交于点. 设、、的内切圆半径分别为、、.（1）证明：
，并指出点在什么位置时，等号成立；（2）若
，证明：.
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