1 . 给定双曲线
，过它的一个焦点作直线
，交C于点
分别为C的实轴端点.求证:对于任意满足条件的l，
的交点在一条定直线上，给出该直线方程并证明你的结论.
，过它的一个焦点作直线，交C于点分别为C的实轴端点.求证:对于任意满足条件的l，的交点在一条定直线上，给出该直线方程并证明你的结论.
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2 . 给定由正整数组成的数列
（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点
均在曲线
上.
（2）若设
，证明：
整除
.
（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点
均在曲线上.（2）若设
，证明：整除.
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2024高三·全国·专题练习
3 . 如图，在平面直角坐标系
中，M，N分别是椭圆
的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．对任意
，求证：
．
中，M，N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．对任意，求证：．
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解题方法
4 . 已知抛物线C：
，过点
的直线l交抛物线于P､Q两点，以OP､OQ为邻边作平行四边形OPRQ.
(1)求点R的轨迹方程.
(2)是否存在l，使四边形OPRQ为正方形？证明你的结论.
，过点的直线l交抛物线于P､Q两点，以OP､OQ为邻边作平行四边形OPRQ.(1)求点R的轨迹方程.
(2)是否存在l，使四边形OPRQ为正方形？证明你的结论.
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2023高三·全国·专题练习
5 . 若实数
，
，
两两不等，且
，
，证明
，并由本结论说出
的一条几何性质.
，，两两不等，且，，证明，并由本结论说出的一条几何性质.
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名校
解题方法
6 . 在平面直角坐标系中，设二次函数
的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.
中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；
(2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.
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7 . 如图，已知
内接于抛物线
，且边
所在直线分别与抛物线
相切，F为抛物线M的焦点．求证：
(1)边
所在直线与抛物线M相切；
(2)A，C，B，F四点共圆．
内接于抛物线，且边所在直线分别与抛物线相切，F为抛物线M的焦点．求证：(1)边
所在直线与抛物线M相切；(2)A，C，B，F四点共圆．
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8 . 已知任意二次曲线S，
是曲线S的弦，O是的中点，过点O任意作弦
、
，过点C、D、E、F另作一条任意二次曲线t，如果曲线t与直线交于点P、Q，求证：
.
是曲线S的弦，O是的中点，过点O任意作弦、，过点C、D、E、F另作一条任意二次曲线t，如果曲线t与直线交于点P、Q，求证：.
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解题方法
9 . 已知椭圆
与双曲线
有四个交点，求证此四个交点共圆，并求出此圆的圆心坐标.
与双曲线有四个交点，求证此四个交点共圆，并求出此圆的圆心坐标.
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焦点为F，
三边所在直线与抛物线分别相切，求证：
