1 . 已知
个实系数二次函数
的判别式
都相等.若对任意的
，方程
均有两个不等的实根，求证：方程
也有两个不等的实根.
个实系数二次函数的判别式都相等.若对任意的，方程均有两个不等的实根，求证：方程也有两个不等的实根.
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2 . 给定正整数
，对于正整数
，集合
.集族
满足如下条件：
（1）的每个集合都是
的元子集；
（2）中的任意两个集合至多有一个公共元素；
（3）的任意一个元素恰出现在中的两个集合中.
试求的最大值.
，对于正整数，集合.集族满足如下条件：（1）
的每个集合都是的元子集；（2）
中的任意两个集合至多有一个公共元素；（3）
的任意一个元素恰出现在中的两个集合中.试求
的最大值.
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3 . 求满足下列条件的最小正整数t，对于任何凸n边形
，只要
，就一定存在三点
，使
的面积不大于凸n边形面积的
.
，只要，就一定存在三点，使的面积不大于凸n边形面积的.
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4 . 奥运会排球预选赛有
支球队参加，其中每两队比赛一场，每场比赛必决出胜负．如果其中有
支球队
满足：
胜
，胜
，
胜
，胜，则称这
支球队组成一个“阶连环套”．证明：若全部支球队组成一个 阶连环套，则对于每个及每支球队
，
必与另外某些球队组成一个阶连环套．
支球队参加，其中每两队比赛一场，每场比赛必决出胜负．如果其中有支球队满足：胜，胜，胜，胜，则称这支球队组成一个“阶连环套”．证明：若全部支球队组成一个 阶连环套，则对于每个及每支球队，必与另外某些球队组成一个阶连环套．
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5 . 求证:存在唯一的正整数数列
，使得
，
.
，使得，.
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6 . 设是给定的正整数，
.记
，
.证明：存在正整数，使得
为一个整数，其中，
表示不小于实数
的最小整数（如
，
）.
是给定的正整数，.记，.证明：存在正整数，使得为一个整数，其中，表示不小于实数的最小整数（如，）.
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7 . 将长为、宽为的矩形划分为
个小正方形.一粒子不重复不遗漏连续地通过每个小正方形的一条对角线.这件事能否办到？若办不到，请说明理由；若能办到，请给出一种行走路线.
、宽为的矩形划分为个小正方形.一粒子不重复不遗漏连续地通过每个小正方形的一条对角线.这件事能否办到？若办不到，请说明理由；若能办到，请给出一种行走路线.
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8 . 一个人上台阶可以一次上1级台阶，也可以一次上3级台阶，或者一次上4级台阶.若这个人上
级台阶总共有
种走法，证明
为平方数.
级台阶总共有种走法，证明为平方数.
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9 . 求集合
.
.
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10 . 设
，其中，b为正奇数.定义数列
满足
，
.若正整数
，使得
为素数.证明：
.
，其中，b为正奇数.定义数列满足，.若正整数，使得为素数.证明：.
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