2023高三·全国·专题练习
1 . 若实数
，
，
两两不等，且
，
，证明
，并由本结论说出
的一条几何性质.
，，两两不等，且，，证明，并由本结论说出的一条几何性质.
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2024高三·全国·专题练习
2 . 如图，在平面直角坐标系
中，M，N分别是椭圆
的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．对任意
，求证：
．
中，M，N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．对任意，求证：．
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3 . 过抛物线
(p为不等于2的质数)的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M､N两点，线段
的垂直平分线交于P点，交x轴于Q点.
（1）求
中点R的轨迹L的方程；
（2）证明：L上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L上任意整点到原点的距离均不是整数.
(p为不等于2的质数)的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M､N两点，线段的垂直平分线交于P点，交x轴于Q点.（1）求
中点R的轨迹L的方程；（2）证明：L上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L上任意整点到原点的距离均不是整数.
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4 . 点P为椭圆
外一点，过P作椭圆两条切线
、
，切点分别为A、B，连结
，点M、N分别为、中点，连结并延长交椭圆于点C，连结
交椭圆于另一点D，连结
并延长交于Q，证明：Q为的中点．
外一点，过P作椭圆两条切线、，切点分别为A、B，连结，点M、N分别为、中点，连结并延长交椭圆于点C，连结交椭圆于另一点D，连结并延长交于Q，证明：Q为的中点．
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解题方法
5 . 已知椭圆
的右焦点为F.C上两点A､B满足
，且
.求证：以为直径的圆恒过异于点F的一个定点.
的右焦点为F.C上两点A､B满足，且.求证：以为直径的圆恒过异于点F的一个定点.
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6 . 设F是椭圆左焦点，过F作两条相互垂直的直线，与椭圆的四个交点顺次记为A、B、C、D，设F在四边形
的四条边上的射影分别为P、Q、R、S，求证：P、Q、R、S四点共圆.
左焦点，过F作两条相互垂直的直线，与椭圆的四个交点顺次记为A、B、C、D，设F在四边形的四条边上的射影分别为P、Q、R、S，求证：P、Q、R、S四点共圆.
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7 . 如图，已知抛物线
焦点为F，
三边所在直线与抛物线分别相切，求证：外接圆过定点．
焦点为F，三边所在直线与抛物线分别相切，求证：外接圆过定点．
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8 . 已知椭圆
，点P、Q在椭圆C上，满足在椭圆C上存在一点R到直线
、
的距离均为
，证明：
．
，点P、Q在椭圆C上，满足在椭圆C上存在一点R到直线、的距离均为，证明：．
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9 . 已知圆
与抛物线
交于A、B、C、D四个不同的点，且
为圆的直径，线段和
的中点分别为M、N，求证：线段在y轴上的投影长度为定值．
与抛物线交于A、B、C、D四个不同的点，且为圆的直径，线段和的中点分别为M、N，求证：线段在y轴上的投影长度为定值．
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10 . 已知
是抛物线
上三个不同的动点，
有两边所在的直线与抛物线
相切.证明：的重心在定直线上.
是抛物线上三个不同的动点，有两边所在的直线与抛物线相切.证明：的重心在定直线上.
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