1 . 已知点为椭圆的左焦点，记点到直线的距离为，且.

（Ӏ）求动点的轨迹方程；
（ӀӀ）过点作椭圆的两条切线PA，PB，设切点分别为，连接AF，BF.
（i）求证：直线PA方程为；
（ii）求证：AF⊥FB.

2 . 在平面直角坐标系中，是坐标原点，是直线上的动点，过作两条相异直线和，其中与抛物线交于、两点，与交于、两点，记、和直线的斜率分别为、和．
（1）当在轴上，且为中点时，求；
（2）当为的中位线时，请问是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，已知抛物线，椭圆：中心在原点，焦点在y轴上，且离心率为．直线交于A、B两点，交于M、N两点．是上的点，且始终位于直线l的右上方．连接、，的平分线交y轴于H，交的左侧部分于T．

（1）求证：轴；
（2）若M是的中点，是否存在最大值？若存在，求出使取得最大值时m的值；若不存在，请说明理由．

4 . 如图，椭圆的右焦点为F，过F任意作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，M，N分别为和的中点．

（1）若直线斜率为，其中O为坐标原点，求直线的斜率；
（2）记F到直线的距离为d，求d的最大值．

5 . 在平面直角坐标系中，已知点、.过点的直线与椭圆分别交于点、.
（1）若直线与轴垂直，求的面积；
（2）记直线、、的斜率分别为、、，求证：、、成等差数列.

6 . 已知椭圆C∶（a>b>0）.

（1）如图1，若椭圆C的半焦距c=1，且，椭圆与过点（0，1）且斜率为的直线相交于P、Q两点，求的值；
（2）如图2，设A为椭圆C∶（a> b> 0）的长轴的左端点，B为椭圆C的上顶点，F为椭圆C的左焦点，O为坐标原点，记∠BFO=θ，当椭圆C同时满足下列两个条件∶①；②O到直线AB的距离为；求椭圆长轴长的取值范围.