1 . 已知椭圆M：的短轴长为，离心率为.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若过点的两条直线分别与椭圆M交于点A，C和B，D，且共线，求直线AB的斜率.

2 . 已知椭圆的左焦点为．
(1)设M是C上任意一点，M到直线的距离为d，证明：为定值．
(2)过点且斜率为k的直线与C自左向右交于A，B两点，点Q在线段AB上，且，，O为坐标原点，证明：．

3 . 已知椭圆（ ），离心率为，其左右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，且的最小值为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C的上半部分取两点（不包含椭圆左右端点），若，求直线的方程．

4 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，斜率为的直线过点且与椭圆交于、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与轴相交于点，且，求的值.

5 . 已知椭圆C：（）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的半长轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆C上一点，若过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

6 . 顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．
（1）求椭圆的方程；
（2），是椭圆上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（以为坐标原点），线段上有一点满足，连接并延长交椭圆于点，求椭圆的值.

7 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，是椭圆的左顶点，是椭圆的右焦点，点都在椭圆上.
(1)若点在椭圆上，求的最大值；
(2)若为坐标原点），求直线的斜率.

8 . 如图所示，已知、、是椭圆上三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，.
(1)求点的坐标及椭圆的方程；
(2)若椭圆上存在两点、，使得的平分线总垂直于轴，试判断向量与是否共线，并给出证明．