1 . 已知正整数,集合,,,,,,2,,.对于中的元素,,,,,,定义.令.
(1)直接写出的两个元素及的元素个数;
(2)已知,,,,满足对任意,都有,求的最大值;
(3)证明:对任意,,,,总存在,使得.
(1)直接写出的两个元素及的元素个数;
(2)已知,,,,满足对任意,都有,求的最大值;
(3)证明:对任意,,,,总存在,使得.
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名校
2 . 集合称为三元有序数组集,对于互不相等.令,其中,
(1)当时,试求出和;
(2)证明:对于任意的中的三个数至多有一个为0;
(3)证明:存在.当时,向量满足.
(1)当时,试求出和;
(2)证明:对于任意的中的三个数至多有一个为0;
(3)证明:存在.当时,向量满足.
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3 . 如果和除以所得余数相同,则称对模同余,记作,
若集合,集合,现从集合中的个数中可以抽出个数,
()且,使这个数平均分为组,若存在一组数对 (三者不相等)且满足恰好能被整除,对模同余,则为“灵魂莲华集合”,为“灵魂莲华数对”
(1)判断为“灵魂莲华集合”
(2)若,判断有多少组数对为灵魂莲华数对
(3)现从素数集合中任取三个不同的数,若构成公差为8的等差数列,求证:无论且为任何集合,最多有一对满足条件的为灵魂莲华数对.
若集合,集合,现从集合中的个数中可以抽出个数,
()且,使这个数平均分为组,若存在一组数对 (三者不相等)且满足恰好能被整除,对模同余,则为“灵魂莲华集合”,为“灵魂莲华数对”
(1)判断为“灵魂莲华集合”
(2)若,判断有多少组数对为灵魂莲华数对
(3)现从素数集合中任取三个不同的数,若构成公差为8的等差数列,求证:无论且为任何集合,最多有一对满足条件的为灵魂莲华数对.
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4 . 对于给定的奇数,设是由个实数组成的行列的数表,且A中所有数不全相同,A中第行第列的数,记为A的第行各数之和,为A的第列各数之和,其中.记.设集合或,记为集合所含元素的个数.
(1)对以下两个数表,,写出,,,的值;
(2)若中恰有个正数,中恰有个正数.求证:;
(3)当时,求的最小值.
(1)对以下两个数表,,写出,,,的值;
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | |
1 | 1 | 1 | ||
1 | 1 | |||
1 |
1 | 1 | 1 | ||
1 | 1 | 1 | ||
1 | 1 | 1 | ||
1 | 1 | |||
1 |
(2)若中恰有个正数,中恰有个正数.求证:;
(3)当时,求的最小值.
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5 . (多选)任取集合的个非空子集,定义为记所得的个值之和为,则( )
A.与的奇偶性相同 | B.是的一个倍数 |
C.的最小值为 | D.的最大值为 |
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6 . 称代数系统为一个有限群,如果
1.为一个有限集合,为定义在上的运算(不必交换),
2.
3.称为的单位元
4.,存在唯一元素使称为的逆元有限群,称为的子群.若,定义运算.
(1)设为有限群的子群,为中的元素. 求证:
(i)当且仅当;
(ii)与元素个数相同.
(2)设为任一质数.上的乘法定义为,其中[x]为不大于的最小整数.已知构成一个群,求证:(其中表示个作运算)
1.为一个有限集合,为定义在上的运算(不必交换),
2.
3.称为的单位元
4.,存在唯一元素使称为的逆元有限群,称为的子群.若,定义运算.
(1)设为有限群的子群,为中的元素. 求证:
(i)当且仅当;
(ii)与元素个数相同.
(2)设为任一质数.上的乘法定义为,其中[x]为不大于的最小整数.已知构成一个群,求证:(其中表示个作运算)
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7 . 设正整数,集合,对于集合中的任意元素和,及实数,定义:当且仅当时;;.若的子集满足:当且仅当时,,则称为的完美子集.
(1)当时,已知集合,,分别判断这两个集合是否为的完美子集,并说明理由;
(2)当时,已知集合.若不是的完美子集,求的值;
(3)已知集合,其中.若对任意都成立,判断是否一定为的完美子集.若是,请说明理由;若不是,请给出反例.
(1)当时,已知集合,,分别判断这两个集合是否为的完美子集,并说明理由;
(2)当时,已知集合.若不是的完美子集,求的值;
(3)已知集合,其中.若对任意都成立,判断是否一定为的完美子集.若是,请说明理由;若不是,请给出反例.
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2024-07-07更新
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351次组卷
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13卷引用:北京市海淀区2022届高三上学期期中练习数学试题
北京市海淀区2022届高三上学期期中练习数学试题北京市顺义区杨镇第一中学2023届高三上学期10月月考数学试题北京市汇文中学2023届高三上学期期中考试数学试题北京市东直门中学2022-02023学年高一下学期期中考试数学试题(已下线)高一上学期期中考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列北京市东直门中学2024届高三上学期阶段检测(10月月考)数学试题北京市第十九中学2024届高三上学期10月月考数学试题(已下线)单元高难问题01集合中的新定义问题-【倍速学习法】(人教A版2019必修第一册)北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷北京市延庆区2023-2024学年高一下学期期末数学试卷(已下线)专题4 立体几何中的新定义压轴大题(二)【讲】(已下线)专题1 以集合为主体的新定义压轴大题(过关集训)(已下线)专题01 集合的8种考法-【常考压轴题】(人教B版2019必修第一册)
8 . 设是给定的正整数.对于数列,,…,,令集合.
(1)对于数列,,,直接写出集合;(用列举法表示)
(2)设常数.若,,…,是以为首项,为公差的等差数列,求证:集合的元素个数为;
(3)若,,…,是等比数列,且,公比.求集合的元素个数,并求集合中所有元素之和.
(1)对于数列,,,直接写出集合;(用列举法表示)
(2)设常数.若,,…,是以为首项,为公差的等差数列,求证:集合的元素个数为;
(3)若,,…,是等比数列,且,公比.求集合的元素个数,并求集合中所有元素之和.
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9 . 设,是非空集合,定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若,则称是到的一个关系.当时,则称与是相关的,记作.已知非空集合上的关系是的一个子集,若满足,有,则称是自反的:若,有,则,则称是对称的;若,有,,则,则称是传递的.且同时满足以上三种关系时,则称是集合中的一个等价关系,记作~.
(1)设,,,,求集合与;
(2)设是非空有限集合中的一个等价关系,记中的子集为的等价类,求证:存在有限个元素,使得,且对任意,;
(3)已知数列是公差为1的等差数列,其中,,数列满足,其中,前项和为.若给出上的两个关系和,请求出关系,判断是否为上的等价关系.如果不是,请说明你的理由;如果是,请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合.
(1)设,,,,求集合与;
(2)设是非空有限集合中的一个等价关系,记中的子集为的等价类,求证:存在有限个元素,使得,且对任意,;
(3)已知数列是公差为1的等差数列,其中,,数列满足,其中,前项和为.若给出上的两个关系和,请求出关系,判断是否为上的等价关系.如果不是,请说明你的理由;如果是,请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合.
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10 . 若是一个集合,是一个以的某些子集为元素的集合,且满足:①属于,空集属于;②中任意多个元素的并集属于;③中任意多个元素的交集属于,则称是集合上的一个拓扑.已知函数,其中[x]表示不大于的最大整数,当时,函数值域为集合,则集合上的含有4个元素的拓扑的个数为______ .
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2024-04-29更新
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413次组卷
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3卷引用:浙江省温州新力量联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
浙江省温州新力量联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题江苏省前黄高级中学2024届高三下学期三模适应性考试数学试题(已下线)第一章 排列组合与二项式定理 专题三 组合 微点2 组合综合训练【培优版】