1 . 设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点P为A中元素a的格点.
(1)证明：若则.
(2)A中的元素所对应的格点记作（），现将A中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以为顶点的三角形面积.
(3)已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围.

2 . 已知n元有限集（，），若，则称集合A为“n元和谐集”.
(1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）；
(2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2；
(3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.

3 . 已知为所有元有序数组所组成的集合.其中（）.
对于中的任意元素，定义，的距离：

若，为的子集，且有个元素，并且满足任意，都存在唯一的，使得，则称为“好集”.
(1)若，，，，，，求，及的值；
(2)当时，求证：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5；
(3)求证：当时，“好集”不存在.

4 . 已知元正整数集合满足：，且对任意，都有
(1)若，写出所有满足条件的集合；
(2)若恰有个正约数，求证：；
(3)求证：对任意的，都有.

5 . 如图，T是3行3列的数表，用表示位于第i行第j列的数，且满足．数表中有公共边的两项称为相邻项，例如上表中的相邻项仅有和．对于数表T，定义操作为将该数表中的以及的相邻项从x变为，其他项不变，并将操作的结果记为．已知数表满足．记变换为n个连续的上述操作，即，使得，并记
(1)给定变换，直接写出．
(2)若满足，其他项均为0．是含n次操作的变换且有，求n的最小值．
(3)若变换中每个操作至多只出现一次，则称变换是一个“优变换”，证明：任给一个数表，存在唯一的一个“优变换”，使得．

6 . 当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，．
(1)计算；
(2)证明，“或”是“”的充要条件．

7 . 定义一个n元数组，其中或1，i､﹐设，表示A和B中相应的元素不同的个数（例如，，则）.
(1)若，写出所有满足的5元数组B；
(2)设，记的5元数组B的个数为，求的值；
(3)令（n个0），，，求证：.

8 . 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
(1)判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；
(3)若集合具有性质，证明：．

9 . 对于实数构成的集合.若对任意都有（其中“”表示普通的乘法运算），则称集合对“”是封闭的.
(1)已知集合，判断是否属于集合；
(2)在（1）的条件下，若，证明的充要条件是；
(3)若集合对“”都是封闭的，试判断是否对“”封闭，请说明理由.

10 . 设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：①A的元素个数不小于3；②若，则的所有因数都属于A；③若，，，则，请回答下面的问题：
(1)证明：1，2，3，4，5都是集合A的元素
(2)判断2021是否集合A的元素，并说明理由