1 . 对于给定集合，若集合中任意两个不同元素之和仍是集合中的元素，则称集合是“封闭集合”．设为实常数且，集合，证明：集合为“封闭集合”的充要条件是：存在整数，使得．

2 . 对于实数构成的集合.若对任意都有（其中“”表示普通的乘法运算），则称集合对“”是封闭的.
(1)已知集合，判断是否属于集合；
(2)在（1）的条件下，若，证明的充要条件是；
(3)若集合对“”都是封闭的，试判断是否对“”封闭，请说明理由.

3 . 设是一个非空集合，由的一切子集（包括，自身）为元素构成的集合，称为的幂集，记为．
(1)当时，写出；
(2)证明：对任意集合，都满足；
(3)设是个两位数字形成的集合，证明：中必有两个的子集，其元素的数值和相等．

4 . 设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：①A的元素个数不小于3；②若，则的所有因数都属于A；③若，，，则，请回答下面的问题：
(1)证明：1，2，3，4，5都是集合A的元素
(2)判断2021是否集合A的元素，并说明理由

5 . 对于任意有限集S，T，定义集合，表示S的元素个数．已知集合A，B为实数集R的非空有限子集，设集合．
(1)若，求集合C及其元素个数；
(2)若，求的值；
(3)已知D为有限集，若，证明：．

6 . 对于正整数，，存在唯一一对整数和，使得，.特别地，当时，称能整除，记作，已知
(1)存在，使得，试求的值；
(2)求证.不存在这样的函数：，使得对任意的整数，，若，则
(3)若，（指集合中的元素的个数）.且存在，，，则称为“和谐集”.判断：当时，集合中有12个元素并且含有的任意子集是否都为“和谐集”，并说明理由.

7 . 若集合，其中为非空集合，，则称集合为集合A的一个n划分．
(1)写出集合的所有不同的2划分；
(2)设为有理数集Q的一个2划分，且满足对任意，任意，都有．则下列四种情况哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理由；
①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值；
②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值；
③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值；
④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．
(3)设集合，对于集合A的任意一个3划分，证明：存在，存在，使得．

8 . 设，，…，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点．
(1)已知，为聚合区间，求t的值；
(2)已知，，…，，为聚合区间．
（ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，，使得；
（ⅱ）若对任意p，q（且p，），都有，互不包含．求证：存在不同的i，，使得．

9 . 已知实数，满足.
（1）求证：中至少有一个实数不小于1；
（2）若均为非零整数，求的最大值；
（3）设这五个实数两两不等，集合，若且，记是中所有元素之和，对所有的，求的平均值.

10 . 已知集合(且），，且．若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集．
(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；
①；                       ②．
(2)若是的3元完美子集，求的最小值；
(3)若是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件．