1 . 在数学中,把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数(质数).历史上研究素数在自然数中分布规律的公式有“费马数”;还有“欧拉质数多项式”:.但经后人研究,这两个公式也有局限性.现有一项利用素数的数据加密技术—DZB数据加密协议:将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数,比如分数的分子分母分别乘以同一个素数19,就会得到加密数据.这个过程叫加密,逆过程叫解密.
(1)数列中经DZB数据加密协议加密后依次变为.求经解密还原的数据的数值;
(2)依据的数值写出数列的通项公式(不用严格证明但要检验符合).并求数列前项的和;
(3)为研究“欧拉质数多项式”的性质,构造函数是方程的两个根是的导数.设.证明:对任意的正整数,都有.(本小题数列不同于第(1)(2)小题)
(1)数列中经DZB数据加密协议加密后依次变为.求经解密还原的数据的数值;
(2)依据的数值写出数列的通项公式(不用严格证明但要检验符合).并求数列前项的和;
(3)为研究“欧拉质数多项式”的性质,构造函数是方程的两个根是的导数.设.证明:对任意的正整数,都有.(本小题数列不同于第(1)(2)小题)
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名校
2 . 已知无穷数列的各项均为正数,当时,;当时,,其中表示这个数中最大的数.
(1)若数列的前项为1,4,3,8,写出的值;
(2)是否存在,使,且?请说明理由;
(3)设,证明:.
(1)若数列的前项为1,4,3,8,写出的值;
(2)是否存在,使,且?请说明理由;
(3)设,证明:.
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2023高三·全国·专题练习
3 . 在个不同数的排列中,若时(即前面某数大于后面某数),则称与构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为,如排列21的逆序数,排列4321的逆序数.
(1)求,,并写出的表达式;
(2)令,证明,.
(1)求,,并写出的表达式;
(2)令,证明,.
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4 . 已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推. 设该数列的前项和为,
规定:若,使得(),则称为该数列的“佳幂数”.
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列,直接写出前3个“佳幂数”;
(2)试判断50是否为“佳幂数”,并说明理由;
(3)(i)求满足>70的最小的“佳幂数”;
(ii)证明:该数列的“佳幂数”有无数个.
规定:若,使得(),则称为该数列的“佳幂数”.
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列,直接写出前3个“佳幂数”;
(2)试判断50是否为“佳幂数”,并说明理由;
(3)(i)求满足>70的最小的“佳幂数”;
(ii)证明:该数列的“佳幂数”有无数个.
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5 . 数列对于确定的正整数,若存在正整数使得成立,则称数列为“阶可分拆数列”.
(1)设 是首项为2,公差为2的等差数列,证明为“3阶可分拆数列”;
(2)设数列的前项和为,若数列为“阶可分拆数列”,求实数的值;
(3)设,试探求是否存在使得若数列为“阶可分拆数列”.若存在,请求出所有,若不存在,请说明理由.
(1)设 是首项为2,公差为2的等差数列,证明为“3阶可分拆数列”;
(2)设数列的前项和为,若数列为“阶可分拆数列”,求实数的值;
(3)设,试探求是否存在使得若数列为“阶可分拆数列”.若存在,请求出所有,若不存在,请说明理由.
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2017-06-29更新
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823次组卷
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2卷引用:江苏省如皋市2017届高三下学期语数英学科联考(二)数学试题