1 . 已知正项等比数列中，，，用表示实数的小数部分，如，，记，则数列的前15项的和为______.

2 . 已知数列满足，，.
（1）若，写出所有可能的值；
（2）若数列是递增数列，且、、成等差数列，求p的值；
（3）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式.

3 . 定义“等积数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积.已知数列是，公积为的等积数列，则______；数列的前项和______.

4 . 如果一个数列满足（H为常数，），则称数列为等和数列，H为公和，是其前n项的和，已知等和数列中，，，则等于（       ）

A．-3016

B．-3015

C．-3020

D．-3013

5 . 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为P_n，所有项的和记为S_n.
（1）求P₁，P₂；
（2）若P_n≥2020，求n的最小值；
（3）是否存在实数a，b，c，使得数列{S_n}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由.

6 . 设，若无穷数列满足：对所有整数，都成立，则称“-折叠数列”.
（1）求所有的实数，使得通项公式为的数列是-折叠数列；
（2）给定常数，是否存在数列，使得对所有，都是-折叠数列，且的各项中恰有个不同的值？证明你的结论；
（3）设递增数列满足.已知如果对所有，都是-折叠数列，则的各项中至多只有个不同的值，证明：.

7 . 设为等差数列的公差，数列的前项和，满足（），且，若实数（，），则称具有性质.
（1）请判断、是否具有性质，并说明理由；
（2）设为数列的前项和，若是单调递增数列，求证：对任意的（，），实数都不具有性质；
（3）设是数列的前项和，若对任意的，都具有性质，求所有满足条件的的值.

8 . 定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列是等积数列且，公积为10，那么这个数列前41项和的值为__________．

9 . 给定个不同的数、、、、，它的某一个排列的前项和为，该排列中满足的的最大值为．记这个不同数的所有排列对应的之和为．
（1）若，求；
（2）若，.
①证明：对任意的排列，都不存在使得；
②求（用表示）．

10 . 对于数列，，，，若满足，则称数列为“数列”．
若存在一个正整数，若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”，
例如数列因为，，，与，，，按次序对应相等，所以数列是“阶可重复数列”．
(1)分别判断下列数列，，，，，，，，，．是否是“阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这项；
(2)若项数为的数列一定是“阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；
(3)假设数列不是“阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项或，均可使新数列是“阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值．