2011高三·山西·竞赛
1 . 
三个内角的度数满足
.求
的值.
三个内角的度数满足.求的值.
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2010高三·山西·竞赛
2 . 一次足球邀请赛共安排了
支球队参加，每支球队预定的比赛场数分别是
，
，…，
．若任两支球队之间至多安排了一场比赛，则称
是一个“有效安排”．证明：若是一个有效安排，且
，则可去掉一支球队，并重新调整各队之间的对局情况，使
也是一个有效安排．
支球队参加，每支球队预定的比赛场数分别是，，…，．若任两支球队之间至多安排了一场比赛，则称是一个“有效安排”．证明：若是一个有效安排，且，则可去掉一支球队，并重新调整各队之间的对局情况，使也是一个有效安排．
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2010高三·山西·竞赛
3 . 设
，约定
．证明：
.
，约定．证明：.
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2010高三·山西·竞赛
4 . 如图，
是正
的中心，
是其所在平面上的任意一点，以
为直径的圆分别与直线
交于点
．证明：
．
是正的中心，是其所在平面上的任意一点，以为直径的圆分别与直线交于点．证明：．
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5 . 已知在正整数n的各位数字中，共含有
个1，
个2，⋯，
个n．证明：
并确定使等号成立的条件．
个1，个2，⋯，个n．证明：并确定使等号成立的条件．
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2018-12-07更新
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370次组卷
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3卷引用：2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛试题
6 . 记“Σ”表示轮换对称和．若a、b、c为给定的互不相同的实数，则
经化简后得__________ .
经化简后得
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7 . 若12个互不相同的正整数之和为2016，则这些正整数的最大公约数的最大值为__________ .
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8 . 若集合
的子集A中的每个元素均可表为两个自然数（允许相同）的平方和，求集合A中元素个数的最大值.
的子集A中的每个元素均可表为两个自然数（允许相同）的平方和，求集合A中元素个数的最大值.
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9 . 如图，
、
、
为
的外接圆
上的点，满足
，P为上的任意一点.若直线
与BC、
与AC、
与AB分别交于点D、E、F，证明:D、E、F三点共线.
、、为的外接圆上的点，满足，P为上的任意一点.若直线与BC、与AC、与AB分别交于点D、E、F，证明:D、E、F三点共线.
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10 . 设椭圆
的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形三顶点.若焦点到椭圆上的点的最短距离为
，则
=________ .
的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形三顶点.若焦点到椭圆上的点的最短距离为，则=
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