23-24高一下·全国·课前预习
1 . 空间等角定理
1.定理
1.定理
文字语言 | 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 |
符号语言 | ,或 |
图形语言 | |
作用 | 判断或证明两个角相等或互补 |
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23-24高二下·全国·课前预习
2 . 等差中项
(1)条件:如果成等差数列.
(2)结论:那么叫做与的等差中项.
(3)满足的关系式是________
温警提醒(1)任意两个实数都有等差中项.
(2)应用等差中项法也可证明一个数列为等差数列,即为等差数列.
(1)条件:如果成等差数列.
(2)结论:那么叫做与的等差中项.
(3)满足的关系式是
温警提醒(1)任意两个实数都有等差中项.
(2)应用等差中项法也可证明一个数列为等差数列,即为等差数列.
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23-24高二上·江苏·课后作业
3 . 数学归纳法
一般地,证明一个与正整数有关的数学命题时,可按如下两个步骤进行:
(1)证明当时命题成立;
(2)假设当时命题成立,证明当___ 时命题也成立.
根据(1)(2)就可以断定命题对应从___ 开始的所有正整数都成立.
一般地,证明一个与正整数有关的数学命题时,可按如下两个步骤进行:
(1)证明当时命题成立;
(2)假设当时命题成立,证明当
根据(1)(2)就可以断定命题对应从
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4 . 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明,证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:如图,是锐角的高,则.当,时,___________ .
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23-24高二下·全国·课前预习
5 . 数学归纳法的操作流程
(1)________ 奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1.
(2)正确分析由到时式子________ 是应用数学归纳法成功证明问题的保障.
(3)在第二步证明中一定要________ ,这是数学归纳法证明的核心环节,否则这样的证明就不是利用数学归纳法证明.
应用数学归纳法证明命题时应注意:
(1)
(2)正确分析由到时式子
(3)在第二步证明中一定要
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6 . 用反证法证明命题“对任意,都有 时,应首先“假设___________ ”,再推出矛盾,从而说明假设不能成立,原命题为真命题.
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名校
解题方法
7 . 如图,我们将一本书打开放置在桌面上(每页书都有一边恰好落在桌面上).根据我们所学的__________ 定理,我们可以证明书脊所在的直线垂直于桌面.
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8 . 空间平行、垂直关系的向量表示
设分别是直线的方向向量,分别是平面的法向量. | |
线线平行 | ,使得 注:此处不考虑线线重合的情况.但用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 |
线面平行 | 注:证明线面平行时,必须说明直线不在平面内; |
面面平行 | ,使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合. |
线线垂直 | |
线面垂直 | ,使得 |
面面垂直 |
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9 . 证明面面平行的一般方法有哪些?
________
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10 . 正弦定理:三角形的各边和它所对角的__________ ,即_____ =____ =____ (R为外接圆的半径).
点拨:对的证明如下(R为外接圆的半径).
证明:设是的外接圆,直径.
如图①,当A为锐角时,连接,则.
又因为,所以.
如图②,当A为钝角时,连接,则.
因为,可得,所以.
当A为直角时,显然有.
综上所述,不论A是锐角、钝角或直角,总有.
同理可证,所以.
由此可知,三角形各边和它所对角的正弦的比相等,是一个定值,这个定值就是三角形外接圆的直径.
点拨:对的证明如下(R为外接圆的半径).
证明:设是的外接圆,直径.
如图①,当A为锐角时,连接,则.
又因为,所以.
如图②,当A为钝角时,连接,则.
因为,可得,所以.
当A为直角时,显然有.
综上所述,不论A是锐角、钝角或直角,总有.
同理可证,所以.
由此可知,三角形各边和它所对角的正弦的比相等,是一个定值,这个定值就是三角形外接圆的直径.
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