23-24高一下·全国·课前预习
1 . 空间等角定理
1.定理
1.定理
文字语言 | 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 |
符号语言 |
|
图形语言 | |
作用 | 判断或证明两个角相等或互补 |
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2 . 用反证法证明命题“对任意
,都有
时,应首先“假设___________ ”,再推出矛盾,从而说明假设不能成立,原命题为真命题.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a37a59558292ad6b3d0978bfd7484990.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/397220a2025730da198a1ee02fef1b76.png)
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23-24高二下·全国·课前预习
3 . 数学归纳法的操作流程
(1)________ 奠基要稳,有些问题中验证的初始值
不一定为1.
(2)正确分析由
到
时式子________ 是应用数学归纳法成功证明问题的保障.
(3)在第二步证明中一定要________ ,这是数学归纳法证明的核心环节,否则这样的证明就不是利用数学归纳法证明.
(1)
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(2)正确分析由
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f2b66d04abdc608824821dee4c842065.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3e8d70d8c5c609c5b55dd2d795be9648.png)
(3)在第二步证明中一定要
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23-24高二下·全国·课前预习
4 . 等差中项
(1)条件:如果
成等差数列.
(2)结论:那么
叫做
与
的等差中项.
(3)满足的关系式是________
温警提醒(1)任意两个实数都有等差中项.
(2)应用等差中项法也可证明一个数列为等差数列,即
为等差数列.
(1)条件:如果
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bf6726a4207c053c937cf221120dea1.png)
(2)结论:那么
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
(3)满足的关系式是
温警提醒(1)任意两个实数都有等差中项.
(2)应用等差中项法也可证明一个数列为等差数列,即
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1aa511f5869c3ac911876fc9af0f51b1.png)
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23-24高二上·江苏·课后作业
5 . 数学归纳法
一般地,证明一个与正整数
有关的数学命题时,可按如下两个步骤进行:
(1)证明当
时命题成立;
(2)假设当
时命题成立,证明当![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f3cb8d72bb2e281b943b3b430138ef7.png)
___ 时命题也成立.
根据(1)(2)就可以断定命题对应从___ 开始的所有正整数
都成立.
一般地,证明一个与正整数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
(1)证明当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0d7236a73d373c001ecc63cd43c227bb.png)
(2)假设当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6ef28d0b96512fc68e18a45a6f369ace.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f3cb8d72bb2e281b943b3b430138ef7.png)
根据(1)(2)就可以断定命题对应从
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解题方法
6 . 如图,我们将一本书打开放置在桌面上(每页书都有一边恰好落在桌面上).根据我们所学的__________ 定理,我们可以证明书脊所在的直线
垂直于桌面.
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7 . 空间平行、垂直关系的向量表示
设 | |
线线平行 | ![]() ![]() ![]() 注:此处不考虑线线重合的情况.但用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 |
线面平行 | ![]() ![]() ![]() 注:证明线面平行时,必须说明直线不在平面内; |
面面平行 | ![]() ![]() ![]() ![]() 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合. |
线线垂直 | ![]() ![]() ![]() ![]() |
线面垂直 | ![]() ![]() ![]() ![]() |
面面垂直 | ![]() ![]() ![]() ![]() |
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8 . 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明,证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:如图,
是锐角
的高,则
.当
,
时,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e1ec5d678ec42846e1d28301e3bfd4be.png)
___________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/03902478df1a55bc99703210bccab910.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/369ba3cba38acef0f6cda42261b4e8c2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36cd446aac9c2e599532e7f00aafb23e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c3ad4c0ba3a6750537789844d0ec419d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e1ec5d678ec42846e1d28301e3bfd4be.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/9/13/ab9cce87-31d5-477c-9581-a555408df15a.png?resizew=143)
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9 . 正弦定理:三角形的各边和它所对角的__________ ,即![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d3f7dce380b3e1be1196ed18612f0ce.png)
_____ =____ =____ (R为
外接圆的半径).
点拨:对
的证明如下(R为
外接圆的半径).
证明:设
是
的外接圆,直径
.
如图①,当A为锐角时,连接
,则
.
又因为
,所以
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/23/30639010-fc58-4465-a655-4219e7ffbcc2.png?resizew=354)
如图②,当A为钝角时,连接
,则
.
因为
,可得
,所以
.
当A为直角时,显然有
.
综上所述,不论A是锐角、钝角或直角,总有
.
同理可证
,所以
.
由此可知,三角形各边和它所对角的正弦的比相等,是一个定值,这个定值就是三角形外接圆的直径.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d3f7dce380b3e1be1196ed18612f0ce.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
点拨:对
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c30b12f8bf54428846cf378ffd5a23b7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
证明:设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3d97cdc586744d208b6f69c9813af977.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6aeee1fed5dedd997d80a62b300cd4bd.png)
如图①,当A为锐角时,连接
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d78abbad68bbbf12af10cd40ef4c353.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/37dbe6c3e8e8bb4a350722296a98517f.png)
又因为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/150dbfe3d6686d423e70d2d430089de9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e993f6547ee186befb37a24b501e417.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/23/30639010-fc58-4465-a655-4219e7ffbcc2.png?resizew=354)
如图②,当A为钝角时,连接
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d78abbad68bbbf12af10cd40ef4c353.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/37dbe6c3e8e8bb4a350722296a98517f.png)
因为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/513e9a98b50b5953543938d868e87257.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/870cd9f489ae712a24a84d1e196c031b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e993f6547ee186befb37a24b501e417.png)
当A为直角时,显然有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e993f6547ee186befb37a24b501e417.png)
综上所述,不论A是锐角、钝角或直角,总有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e993f6547ee186befb37a24b501e417.png)
同理可证
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7b9bc8b9d1f2e2d10897247a526a4ef6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c30b12f8bf54428846cf378ffd5a23b7.png)
由此可知,三角形各边和它所对角的正弦的比相等,是一个定值,这个定值就是三角形外接圆的直径.
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10 . (1)基本事实:平行于同一条直线的两条直线_______________ .
(2)等角定理
[微思考]如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线平行吗?
______________
(2)等角定理
文字语言 | 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 |
图形语言 | ![]() |
作用 | 判断或证明两个角相等或互补 |
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